Calcolare l’equazione di una parabola passante per tre punti

Vediamo in questo appunto come calcolare l’equazione della parabola passante per tre punti. In particolare in questo appunto vedremo:

• Condizioni necessarie per il calcolo dell’equazione di una parabola
• Come ricavare l’equazione della parabola passante per 3 punti
• Esempi di calcolo dell’equazione di una parabola passante per tre dei punti

Condizioni necessarie per il calcolo dell’equazione di una parabola

L’equazione generica di una parabola consta di tre coefficienti indipendente che ne descrivono tutte le sue caratteristiche. Ricordiamo infatti, che l’equazione generica di una parabola avente asse parallelo all’asse delle ordinate è:

y=ax²+bx+c

Individuare in modo univoco l’equazione di una parabola significa dunque ricavare i tre coefficienti indipendenti a,b e c. Ciò richiede di conoscere almeno tre informazioni indipendenti della parabola. In particolare possiamo riassumere nella seguente tabella alcune delle possibili informazioni utili al calcolo dell’equazione di una parabola e le possibili informazioni ridondanti nel caso di una parabola con asse verticale. Una informazione è ridondante rispetto ad un’altra se non è indipendente da essa:

Ciò vuol dire che, per una parabola con asse verticale, conoscere l’ascissa del vertice, l’ascissa del fuoco e la direttrice non consente di ricavare i tre coefficienti dell’equazione della parabola in quanto le informazioni sono tra loro dipendenti.  Da sottolineare che, normalmente, date tre condizioni spesso ci si ritrova a calcolare ben due parabole. La prima avrà la concavità verso l’alto e la seconda verso il basso. Questo succede ad esempio quando si conoscono le coordinate del fuoco più le coordinate di un punto appartenente alla parabola. Conoscere invece tre punti appartenenti alla parabola consente di ricavare in modo univoco l’equazione della parabola.

Come ricavare l’equazione della parabola passante per 3 punti

Dalla geometria analitica sappiamo che per due punti passa una ed una sola retta. Ma cosa succede nel caso di una parabola? Beh dati due punti non è possibile ricavare unicamente l’equazione di una parabola. Per due punti passano infatti infinite parabole. Come visto nel paragrafo precedente è necessario avere almeno tre punti per poter ricavare in maniera univoca i tre coefficienti a,b e c dell’equazione della parabola. Ma come è possibile calcolare il valore dei coefficienti della parabola sapute le coordinate dei punti? Sappiamo che se un punto appartiene alla parabola allora significa che ne soddisfa l’equazione (per approfondire vedi questo link). Quindi dati tre punti A(x_A,y_A) B(x_B,y_B) C(x_C,y_C) …. essi daranno le seguenti uguaglianze:

\left\{\begin{matrix}
y_{A}=ax_{A}^{2}+bx_{A}+c \\
y_{B}=ax_{B}^{2}+bx_{B}+c \\
y_{C}=ax_{C}^{2}+bx_{C}+c \\ 

\end{matrix}\right.

Si ottengono dunque tre equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente in quanto si ha a che fare con la medesima parabola. Per questo motivo sono state organizzate all’interno di un sistema di equazioni. La risoluzione di tale sistema consentirà di ricavare i coefficienti a,b e c e di conoscere di conseguenza l’equazione della parabola passante per tre punti. Vediamo nel seguito alcuni esempi di esercizi.

Esempi di calcolo dell’equazione di una parabola passante per tre dei punti

Vediamo nel seguito alcuni esempi di calcolo dell’equazione di una parabola passante per tre punti dati.

Esempio 1

Calcolare l’equazione della parabola con asse verticale passante per i punti A(1;6), B(-2;15) C(-1;8).

Sostituiamo le coordinate dei punti alla generica equazione della parabola. Otteniamo così un sistema di equazioni dove i tre coefficienti a,b e c son le incognite da risolvere.

\left\{\begin{matrix}
6=a+b+c\: \: \: \: \: \: \\ 
15=4a-2b+c\\
8=a-b+c\: \: \: \: \: \: 
\end{matrix}\right.

a questo punto per risolvere il sistema sottraiamo alla prima equazione la terza. Otteniamo:

6-8 =a-a+b-(-b)+c-c \Rightarrow  -2=2b \Rightarrow \textbf{b=1}

Andiamo a sostituire il valore ottenuto per b alle equazioni del sistema. Otteniamo:

\left\{\begin{matrix}
7=a+c\: \: \: \: \\ 
13=4a+c\\
7=a+c\: \: \: \: 
\end{matrix}\right.

La prima e la terza equazione sono identiche. Sfruttiamo allora le prime due sottraendo alla prima la seconda. Otteniamo dunque:

7-13 =a-4a \Rightarrow  -6=-3a \Rightarrow \textbf{a=2}

utilizziamo il valore di a e lo sostituiamo in una delle equazioni del sistema. Si ottiene:

7 =a+c \Rightarrow  7=2+c \Rightarrow \textbf{c=5}

Ricapitolando abbiamo ottenuto a=2; b=1; c=5. La parabola passante per i tre punti dati, avrà dunque equazione:

y=2x^{2}-x+5

Esempio 2

Calcolare l’equazione della parabola con asse verticale passante per i punti A(2;-5) B(-1;-11) C(3;-15)

Come fatto nell’esercizio precedente, andiamo a costruire il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
-5=4a+2b+c  \\ 
-11=a-b+c  \: \: \\
-15=9a+3b+c   
\end{matrix}\right.

questa volta sostituiamo alla prima equazione la seconda:

-5 - (-11) = 4a-a+2b-(-b)+c-c \Rightarrow 6=3a+3b\Rightarrow a+b=2\Rightarrow \textbf{b=2-a}

sostituiamo il valore di b ottenuto alla seconda equazione. Otteniamo:

-11=a-(2-a)+c\Rightarrow 2a+c=-9\Rightarrow \textbf{c=-9-2a}

Sostituiamo i valori di b e di c ottenuti in funzione di a alla terza equazione. Otteniamo:

-15 = 9a+3(2-a)-9-2a \Rightarrow -15=9a+6-3a-9-2a\Rightarrow -12=4a \Rightarrow \textbf{a=-3}

di conseguenza:

c=-9+6=-3 \\ b=2-(-3) = 5
 

Allora l’equazione della parabola sarà:

y=-3x^{2}+5x-3

Esempio 3

Individuare l’equazione della parabola con asse orizzontale passante per i tre punti A(0;1) B(153,10) C(21,-2).

Costruiamo il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
0= a+b+c \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\
153=100a+10b+c\\
21=4a-2b+c \: \: \: \: \: \: \: \:  

\end{matrix}\right.

dalla prima equazione otteniamo per il coefficiente c:

\textbf{c= -a-b}

sostituiamo questo valore nell’ultima equazione per ricavare il coefficiente a in funzione di b:

21=4a-2b+c \Rightarrow 21=4a-2b-a-b \Rightarrow  \textbf{a=7+b}

Sostituiamo i valori dei coefficienti a e c nella seconda equazione:

153= 100a+10b+c \Rightarrow 153=100(7+b)+10b+(-7-b-b)\Rightarrow-540=108b \Rightarrow \textbf{b=-5}

per cui a=2 e c=3. Ne risulta dunque che l’equazione della parabola con asse orizzontale passante per questi tre punti è:

x=2y^{2}-5y+3

Esempio 4

Calcolare l’equazione della parabola con asse verticale e passante per i punti A(1;1) B(2;2) C(3;3)

Non passiamo subito alle conclusioni. Sappiamo che a passare per i tre punti dati sarà la retta bisettrice del primo e del terzo quadrante. Vediamolo risolvendo l’esercizio. Ricaviamo il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
1= a+b+c  \: \: \: \: \\
2=4a+2b+c \\
3=9a+3b+c   

\end{matrix}\right.

dalla prima equazione otteniamo:

\textbf{c=1-a-b}

sostituendo nella seconda equazione otteniamo:

2=4a+2b+c \Rightarrow 2 = 4a+2b+1-a-b \Rightarrow \textbf{b=1-3a}

dalla terza equazione si ottiene dunque:

3=9a+3(1-3a)+[1-a-(1-3a)] \Rightarrow 3=9a+3-9a+1-a-1+3a \Rightarrow \textbf{a=0}

per cui b=1 e c=0. La parabola è degenerata nella retta bisettrice del primo terzo quadrante:

y=x