Calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto

Vediamo in questo appunto come calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto. In particolare vedremo:

• Condizioni necessarie per il calcolo dell’equazione di una parabola
• Come calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto
• Esempio di calcolo dell’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto

Condizioni necessarie per il calcolo dell’equazione di una parabola

Abbiamo visto al seguente link che per poter calcolare in modo univoco l’equazione di una parabola sono necessarie almeno tre informazioni. Conoscere le coordinate di tre punti consente di determinare in maniera univoca la parabola. In altri casi questo non è possibile. Questo è quanto accade quando si vuole calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto. Limitatamente alle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, esistono sempre due parabole che soddisfano queste condizioni. Le due parabole nella figura sotto ad esempio, passano entrambe per il punto A(0,0) ed hanno il fuoco in F(2,2).

In definitiva, per calcolare in maniera univoca l’equazione della parabola, in questo tipo di problemi bisogna che oltre che alle coordinate del fuoco e del punto, sia anche dichiarata il tipo di asse della parabola (orizzontale o verticale) e il tipo di concavità della parabola stessa. Esiste solo ed un solo caso in cui conoscere il fuoco ed un punto della parabola consente di ottenere un’unica equazione. Questo accade quando il punto noto coincide con il vertice della parabola! Conoscere infatti di una parabola contemporaneamente fuoco e vertice significa possedere anche l’informazione sulla concavità della parabola stessa.

Come calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto

Vediamo adesso come calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto. Il problema fornisce quindi le coordinate del fuoco F (x_F, y_F) e di un punto A(x_A, y_A) appartenente alla parabola. La risoluzione prevede di risolvere un sistema di equazioni nel quale si riportano nello specifico le tre condizioni conosciute:

1. La condizioni di appartenenza del punto A alla parabola
2. e 3. L’uguaglianza delle coordinate del fuoco alle rispettive formule

Vediamo i due casi possibili:

• Parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate

Il sistema di equazioni da risolvere è del tipo:

\left\{\begin{matrix}
y_{A}=ax_{A}^{2}+bx_{A}+c\\ \\
x_{F}= -\frac{b}{2a}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
y_{F} = \frac{1-\Delta}{4a} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 

\end{matrix}\right.

• Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse:

Il sistema diventa:

\left\{\begin{matrix}
x_{A}=ay_{A}^{2}+by_{A}+c\\ \\
y_{F}= -\frac{b}{2a}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
x_{F} = \frac{1-\Delta}{4a} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 

\end{matrix}\right.

Vediamo adesso nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi in cui è richiesto di calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto.

Esempio di calcolo dell’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto

Esempio 1

Calcolare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate e avente fuoco nel punto F(0,25;3) e passante per il punto A(2,-3).

La traccia del problema non ci da alcuna informazione circa la concavità della parabola. La risoluzione del problema ci porterà dunque due soluzioni, l’una con il coefficiente a positivo e l’altra con il coefficiente a negativo.

Riportiamo dunque le informazioni note a sistema:

\left\{\begin{matrix}
-3=4a+2b+c\, \, \, \, \, \, \\ \\
0,25= -\frac{b}{2a}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
3 = \frac{1-\Delta}{4a} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 

\end{matrix}\right.

Dalla seconda relazione ricaviamo dunque per il coefficiente b:

b= -\frac{1}{2}a

sostituendo tale valore alla prima condizione abbiamo:

-3=4a+2b+c \Rightarrow -3=4a+2 \left (-\frac{1}{2}a \right )+c \Rightarrow c= -3-3a

utilizziamo le espressioni ottenute per b e c e le sostituiamo nell’ultima equazione del sistema:

\left\{\begin{matrix}
c=-3-3a\, \, \, \, \, \, \\ \\
b= -\frac{1}{2}a\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
 \frac{1-b^{2}+4ac}{4a} = 3 \, \, \, \,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.  \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}
c=-3-3a\, \, \, \, \, \, \\ \\
b= -\frac{1}{2}a\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
 \frac{1-\left (-\frac{1}{2}a \right )^{2}+4a(-3-3a)}{4a} = 3 \, \, \, \,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.  \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}
c=-3-3a\, \, \, \, \, \, \\ \\
b= -\frac{1}{2}a\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
 \frac{1-\frac{1}{4}a^{2}-12a-12a^{2}}{4a} = 3 \, \, \, \,\,\,\,\,

\end{matrix}\right. 

risolviamo dunque l’ultima equazione. Poichè abbiamo a che fare con una parabola, a è diverso da zero. Possiamo dunque scrivere:

1-\frac{1}{4}a^{2}-12a-12a^{2} = 12a \Rightarrow 4-a^{2} - 48a-48a^{2} = 48a \Rightarrow \mathbf{49a^{2}+96a-4=0}

Risolvendo tale equazione di secondo grado per a abbiamo:

a_{1}  = \frac{-48 + \sqrt{48^{2}-(49)(-4)}}{49} \Rightarrow a_{1} =  \frac{-48 + \sqrt{2304+196}}{49} = \frac{-48 + 50}{49}=  \mathbf{\frac{2}{49}}

a_{2}  = \frac{-48 - \sqrt{48^{2}-(49)(-4)}}{49} \Rightarrow a_{1} =  \frac{-48 - \sqrt{2304+196}}{49} = \frac{-48 - 50}{49}=  -2

Abbiamo dunque due valori di a che soddisfano l’equazione Ciò vuol dire che esistono due parabole con asse verticale che passano pe ril punto A e aventi come fuoco il punto F. Calcoliamo i restanti coefficienti:

b_{1} = -\frac{1}{2}a_{1} = -\frac{1}{2} \frac{2}{49} = -\frac{1}{49}

b_{2} = -\frac{1}{2}a_{2} = -\frac{1}{2} (-2) = -1

c_{1} = -3-3a_{1} = -3-3(\frac{2}{49}) = -\frac{153}{49}

c_{2} = -3-3a_{2} = -3-3(-2) = -3+6=3

abbiamo dunque due parabole che passano per il punto A ed hanno il medesimo fuoco F:

\begin{matrix}
y= a_{1}x^{2} + b_{1}x+c \Rightarrow  \mathbf{y= \frac{2}{49}x^{2} -\frac{1}{49}x-\frac{153}{49}}\\ \\ 
y= a_{2}x^{2} + b_{2}x+c \Rightarrow  \mathbf{y= -2x^{2} -x +3}
\end{matrix}

Esempio 2

Calcolare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate, concavità verso l’alto e avente fuoco nel punto F(-0,5;2) e passante per il punto A(-2;4).

Impostiamo il sistema di equazioni come visto sopra:

\left\{\begin{matrix}
y_{A}=ax_{A}^{2}+bx_{A}+c\\ \\ 
x_{F}= -\frac{b}{2a} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\\\\
y_{F} = \frac{1-\Delta}{4a} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 

\end{matrix}\right.  \Rightarrow\left\{\begin{matrix}
4=4a-2b+c \, \, \, \, \, \, \, \, \\ \\\
-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
\frac{1-b^{2}+4ac}{4a}=2\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 

\end{matrix}\right. 

dalla seconda equazione otteniamo:

b=a

sostituendo il valore di b nella prima equazione otteniamo:

4 = 4a-2b+c \Rightarrow c=4-2a

sostituendo b e c alla terza equazione otteniamo:

\frac{1-a^{2}+4a(4-2a)}{4a} = 2  \Rightarrow 1-a^{2}+16a-8a^{2} = 8a \Rightarrow \mathbf{9a^{2}-8a+1=0}

Risolviamo questa equazione di secondo grado per a applicando ancora una volta la formula ridotta essendo b pari e otteniamo:

a_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{ \left (\frac{b}{2} \right )^{2}-ac}}{a} = \frac{4\pm\sqrt{ 16+9}}{9}=\frac{4\pm5}{9}

Otteniamo dunque due valori per a: 1 e -1/9. Poiché l’esercizio chiede di calcolare l’equazione della parabola con concavità verso l’alto, continueremo allora a considerare solo a=1. Calcoliamo i coefficienti b e c:

\begin{matrix} 
b=a \Rightarrow b=1 \\
c= 4-2a \Rightarrow c=4-2=2
\end{matrix}

La parabola richiesta ha dunque equazione:

\mathbf{y=x^{2}+x+2}

Esempio 3

Calcolare l’equazione della parabola con asse orizzontale e con concavità verso destra, passante per il punto A(-1;1) e avente come fuoco F(0;-1/4).

Costruiamo il sistema di equazioni considerando il caso di una parabola avente asse orizzontale:

\left\{\begin{matrix}
x_{A}=ay_{A}^{2}+by_{A}+c\\ \\
y_{F}= -\frac{b}{2a}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
x_{F} = \frac{1-\Delta}{4a} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 

\end{matrix}\right. \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}
1=a-b+c\\ \\ 
-\frac{b}{2a} = - \frac{1}{4}\, \, \, \, \, \Rightarrow \mathbf{b=\frac{1}{2}a}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\
\frac{1-b^{2}+4ac}{4a} =0 \, \, \, \, \, \, \, \\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 

\end{matrix}\right.

Dalla seconda equazione abbiamo dunque ottenuto b=1/2a. Sostituendo tale valore alla prima equazione otteniamo:

1=a-\frac{1}{2}a+c \Rightarrow \mathbf{c=1-\frac{1}{2}a}

Sostituendo dunque b e c all’ultima equazione del sistema otteniamo:

1- \left ( \frac{1}{2}a\right )^{2} +4a\left (1- \frac{1}{2}a\right )=0  \Rightarrow 1 -\frac{1}{4}a^{2}+4a-2a^{2}=0 \Rightarrow \mathbf{9a^{2}-16a-4=0}

Risolviamo l’equazione di secondo grado per a applicando ancora una volta la formula ridotta essendo b pari:

a_{1,2} = \frac{8\pm \sqrt{64+36}}{9}=\frac{8\pm 10}{9}

da cui si ottengono due valori per a(2 e -2/9). Poichè l’esercizio richiede di considerare solo la parabola con concavità verso destra, si continua con il solo valore positivo di a, ovvero a=1.

Calcoliamo di conseguenza b e c.

\begin{matrix}
b=\frac{1}{2}a =\1  \\
c= 1- \frac{1}{2}a = 1-1 = 0
\end{matrix}

L’equazione della parabola è dunque:

y = 2y^{2} +y