Vediamo in questo appunto come calcolare l’equazione di una parabola dato il vertice ed un suo punto. In particolare vedremo:

Condizioni necessarie per il calcolo dell’equazione di una parabola

Abbiamo visto al seguente link che per poter calcolare in modo univoco l’equazione di una parabola sono necessarie almeno tre informazioni. Conoscere le coordinate di tre punti consente di determinare in maniera univoca la parabola. In altri casi questo non è possibile. Questo è quanto accade quando si vuole calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto. In quest’ultimo caso oltre a conoscere le coordinate del fuoco e di un punto è necessario sapere la posizione dell’asse della parabola e la sua concavità. Nel caso in cui le informazioni note siano invece il vertice ed un punto, occorre solo definire se la parabola è orizzontale o verticale. Il tipo di concavità della parabola è insito nella posizione reciproca del vertice e del punto.

Ricordiamo infatti che nel caso di parabole verticali:

  • Il vertice rappresenta il punto più basso della parabola se questa ha la concavità rivolta verso l’alto (coefficiente a>0). Non esiste alcun punto della parabola con un’ordinata minore di quella del vertice
  • Il vertice rappresenta il punto più alto della parabola se questa ha la concavità rivolta verso il basso(coefficiente a<0). Non esiste alcun punto della parabola con un’ordinata maggiore di quella del vertice
Parabola dato il vertice ed un punto

Stesso ragionamento può essere fatto con parabole aventi l’asse parallelo all’asse delle ascisse.

Come calcolare l’equazione di una parabola dato il vertice ed un suo punto
Metodo generale con uso di un sistema di equazioni

Vediamo adesso come impostare un esercizio nel quale viene richiesto di calcolare l’equazione di una parabola note le coordinate del vertice e di un suo punto facendo uso di un sistema di equazioni. Il problema fornisce dunque le coordinate del vertice V(xV;yV) e quelle di un suo punto A(xA;yA). La risoluzione prevede di risolvere un sistema di 3 equazioni (tante quanti il numero di coefficienti della parabola ignoti) ottenuto utilizzando le condizioni note:

  • 1) La condizione di appartenenza del punto A alla parabola
  • 2) La condizione di appartenenza del vertice alla parabola
  • 3) 4) L’uguaglianza delle coordinate del vertice alle rispettive formule

Abbiamo quindi ben 4 condizioni da utilizzare per costruire il nostro sistema di equazioni. Vediamo nel seguito i due casi possibili:

  • Parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate

Il sistema di 3 equazioni può essere sviluppato scegliendo 3 delle seguenti 4 equazioni:

\begin{matrix}
1)\, y_{A}=ax_{A}^{2}+bx_{A}+c \\\\
2)\, y_{V}=ax_{V}^{2}+bx_{V}+c \\\\
3) -\frac{b}{2a} = x_{V} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\\ 
4) -\frac{b^{2}-4ac}{4a} = y_{V}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}

Ricorda però alcune informazioni importanti he possono semplificare ulteriormente gli esercizi:

    • se il punto A appartiene all’asse delle y, il valore del coefficiente c della parabola è pari all’ordinata del punto A.
    • Le parabole con vertice V sull’asse delle ordinate hanno b=0 e quindi equazione y=ax2+c dove c=yV. Con la sola condizione 1) si risolve l’esercizio
    • Le parabole con vertice nell’origine degli assi hanno i coefficienti b e c pari a zero. L’equazione sarà del tipo y=ax2 . Con la sola condizione 1) si risolve l’esercizio
  • Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse.

In questo caso occorre scegliere le 3 equazioni dalle seguenti 4:

\begin{matrix}
1)\, x_{A}=ay_{A}^{2}+by_{A}+c \\\\
2)\, x_{V}=ay_{V}^{2}+by_{V}+c \\\\
3) -\frac{b}{2a} = y_{V} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\\ 
4) -\frac{b^{2}-4ac}{4a} = x_{V}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}

Ricorda però alcune informazioni importanti che possono semplificare ulteriormente gli esercizi:

    • se il punto A appartiene all’asse delle x, il valore del coefficiente c della parabola è pari all’ascissa del punto A.
    • Le parabole con vertice V sull’asse delle ascisse hanno b=0 e quindi equazione x=ay2+c dove c=xV. Con la sola condizione 1) si risolve l’esercizio
    • Le parabole con vertice nell’origine degli assi hanno i coefficienti b e c pari a zero. L’equazione sarà del tipo x=ay2 . Con la sola condizione 1) si risolve l’esercizio

 

Metodo con uso dell’equazione della parabola in funzione delle coordinate del vertice

Vediamo adesso il secondo metodo per il calcolo dell’equazione di una parabola. Abbiamo visto al seguente link che la generica funzione della parabola:

y=ax^{2} + bx+c

può essere espressa in funzione delle coordinate del vertice nella forma:

y-y_{V} = a(x-x_{V})^{2}

Se la parabola ha l’asse di simmetria parallelo all’asse delle x allora l’equazione assumerà la forma:

x-x_{V} = a (y-y_{V})^{2}

questa forma di scrivere l’equazione della parabola è molto comoda nella risoluzione degli esercizi in cui sono note le coordinate del vertice e di un altro elemento quale un punto appartenente alla parabola oppure il fuoco o la direttrice. Nel caso in cui sia conosciuto un punto appartenente alla parabola, per risolvere l’esercizio basta sostituire le coordinate del punto all’equazione ottenuta in funzione del coefficiente a e delle coordinate del vertice. In questo modo sarà possibile calcolare proprio il coefficiente a. Una volta ottenuto sarà possibile sostituirlo nell’equazione e sviluppare il quadrato al secondo membro in modo da ricavare anche i coefficienti b e c.

Si può infatti facilmente dimostrare che:

b= -2ax_{V} \\\\ c= ax^{2}_{V}+y_{V}

Conoscendo dunque a e le coordinate del vertice, possiamo ricavare l’intera equazione della parabola. A questo metodo dedicheremo gli esempi 5 e 6 riportati sotto.

 
Esempio di calcolo dell’equazione di una parabola dato il vertice ed un suo punto

Esempio 1

Calcolare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate e avente vertice nel punto V(2;-1) e passante per il punto A(1,0).

La parabola di cui andremo a calcolare l’equazione ha concavità verso l’alto in quanto l’ordinata del vertice è minore di quella di un altro punto appartenente alla parabola. Andiamo a questo punto a costruire il sistema. Scegliamo di utilizzare le condizioni 1) 2) e 3) mostrate nel paragrafo precedente. Abbiamo quindi:

\left\{\begin{matrix}
y_{A} = ax_{A}^{2}+bx_{A}+c \\\\
y_{V} = ax_{V}^{2}+bx_{V}+c \\\\
-\frac{b}{2a}=x_{V} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right. \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{matrix}
0 = a(1)^{2}+b+c \\\\
-1 = a(2)^{2}+2b+c \\\\ 
-\frac{b}{2a}=2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right. \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{matrix}
a+b+c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\\
4a+2b+c=-1 \\\\ 
b=-4a  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right. 

sostituendo il valore ottenuto per b alla prima equazione otteniamo:

a-4a+c=0 \Rightarrow c=3a

Sostituendo quindi il valore di b e c alla seconda equazione otteniamo:

4a+2b+c=-1 \Rightarrow 4a+2(-4a)+3a=-1 \Rightarrow 4a-8a+3a=-1 \Rightarrow \mathbf{a=1} 

Abbiamo ottenuto dunque:

a=1;b=-4 e c=3. L’equazione dell parabola è dunque:

\mathbf{y=x^{2}-4x+3}

Una nota: La scelta di non utilizzare la condizione 4 per costruire il sistema può semplificare leggermente i passaggi aritmetici in quanto si elimina una condizione fratta con dei quadrati al numeratore. In questo tipo di esercizi questi si andranno comunque a semplificare (lo vedremo in qualche esempio sotto).

Esempio 2

Calcolare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse, passante per il punto A(2,2) e avente vertice nel punto V(1;1)

Costruiamo il sistema di 3 equazioni utilizzando le condizioni 1,2 e 3 viste nel paragrafo precedente. Otteniamo dunque:

\left\{\begin{matrix}
x_{A} = ay_{A}^{2}+by_{A}+c \\\\
-\frac{b}{2a}=y_{V} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\\
-\frac{b^{2}-4ac}{4a}=x_{V} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
2 = 4a+2b+c \,\,\\\\\
-\frac{b}{2a}=1  \Rightarrow \mathbf{b=-2a}\\\\
-\frac{b^{2}-4ac}{4a}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right. 

sostituendo il valore di b alla prima equazione otteniamo il valore di c:

2=4a-4a+c \Rightarrow \mathbf{c=2}

sostituendo il valore di b e di c alla terza equazione otteniamo:

-\frac{b^{2}-4ac}{4a}=1 \Rightarrow -\frac{4a^{2}-8a}{4a}=1 \Rightarrow 2-a=1 \Rightarrow \mathbf{a=1}

Abbiamo ottenuto dunque:

c=2; \,\,\,a=1;\,\,\, b=-2

L’equazione della parabola è dunque:

x=y^{2}-2y+2

Esempio 3

Calcolare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate, passante per il punto A(0;1) ed avente vertice in V(-1;-1)

Prima di impostare il sistema di equazioni facciamo una riflessione sul punto A. l punto A è il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ordinate (x=0) e per tale motivo la sua ordinata coincide con il parametro c dell’equazione della parabola. Possiamo quindi subito affermare che c=1. La stessa informazione può essere recuperata impostando il sistema. Scegliamo in questo caso le condizioni 1),2 e 3)

\left\{\begin{matrix}
y_{A} = ax_{A}^{2}+bx_{A}+c \\\\
y_{V} = ax_{V}^{2}+bx_{V}+c \\\\
-\frac{b}{2a}=x_{V} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
c=1 \\\\
-1 = a-b+c \\\\
-\frac{b}{2a}=-1 \,\,\,\,\,\,\\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right. \Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
c=1 \\\\
-1 = a-(2a)+1 \\\\
b=2a \,\,\,\,\,\,\\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

dalla seconda equazione si ottiene dunque a=2. Di conseguenza b sarà pari a 4. La parabola avrà dunque equazione:

 

y=2x^{2}+4x+1

Esempio 4

Calcolare l’equazione della parabola con asse verticale, passante per il punto A(2,2) e V(0,0)

Dalla teoria delle parabola dovrebbe essere noto che un parabola avente vertice nell’origine degli assi è del tipo y=ax2 . Dunque b e c sono nulli. Poiché b e c=0, per conoscere l’equazione della parabola occorre risolvere l’equazione di appartenenza del punto A alla parabola:

y_{A}=ax_{A}^{2} \Rightarrow 2=4a \Rightarrow \mathbf{a=\frac{1}{2}}

Esempio 5

Calcolare l’equazione della parabola passante nel vertice V(1,1) e per il punto P(-2,3) e avente asse parallelo all’asse delle ordinate

Calcoliamo l’equazione della parabola in funzione delle coordinate del vertice e del coefficiente a. Otteniamo:

y-y_{V} = a (x-x_{V})^{2} \Rightarrow y-1=a(x-1)^{2} \Rightarrow \mathbf{y=ax^{2}-2ax+2}

Sostituiamo all’equazione appena calcolata, le coordinate del punto P:

 y=ax^{2}-2ax+2 \Rightarrow  3=4a+4a+2 \Rightarrow \mathbf{a= \frac{1}{8}}

L’equazione della parabola è dunque:

 y=ax^{2}-2ax+2 \Rightarrow y=\frac{1}{8}x^{2}-2\frac{1}{8}x+2 \Rightarrow \mathbf{y=\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{4}x+2}

Esempio 6

Calcolare l’equazione della parabola passante nel vertice V(1/3;2/3) e per il punto P(1,2) e avente asse parallelo all’asse delle ordinate

Calcoliamo l’equazione della parabola in funzione delle coordinate del vertice e del coefficiente a. Otteniamo:

y-y_{V} = a (x-x_{V})^{2} \Rightarrow \mathbf {y-\frac{2}{3}=a\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2} }

Sostituiamo all’equazione appena calcolata, le coordinate del punto P. Differentemente  dall’esempio precedente non sviluppiamo il quadrato:

 y-\frac{2}{3}=a\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2} \Rightarrow 2-\frac{2}{3}=a\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2} \Rightarrow \\ \frac{4}{3}= a \frac{4}{9} \Rightarrow \mathbf{a=3}

L’equazione della parabola è dunque:

y-\frac{2}{3}=a\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2} \Rightarrow y-\frac{2}{3}=3\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2} \Rightarrow \\\\ y= 3x^{2}-2x+\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \Rightarrow \mathbf{ y= 3x^{2}-2x+1}

 

Calcolare l’equazione di una parabola dato il vertice ed un punto
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