Calcolare l’equazione di una parabola note le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice

Vediamo in questo appunto come calcolare l’equazione di una parabola note le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice. In particolare vedremo:

• Condizioni necessarie per il calcolo dell’equazione della parabola
• Come calcolare l’equazione della parabola note le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice
• Metodo 1: utilizzo di un sistema di equazioni
• Metodo 2: utilizzo della definizione di parabola
• Esempi di esercizi

Condizioni necessarie per il calcolo dell’equazione della parabola

Abbiamo visto al seguente link che per poter calcolare in modo univoco l’equazione di una parabola sono necessarie almeno tre informazioni. Conoscere le coordinate di tre punti consente di determinare in maniera univoca la parabola. In altri casi questo non è possibile. Questo è quanto accade quando si vuole calcolare l’equazione di una parabola noto il fuoco e passante per un punto dove è necessario sapere anche il tipo di parabola e la sua concavità. Nel caso che qui andiamo a trattare siamo a conoscenza delle coordinate del fuoco e dell’equazione della direttrice. L’equazione della direttrice ci dice se abbiamo a che fare con una parabola orizzontale o verticale ( asse e direttrice sono perpendicolari tra loro). La posizione reciproca di fuoco e direttrice ci consente di conoscere la concavità della parabola. Infatti per parabole verticali possiamo dire:

• La concavità sarà verso l’alto se la coordinata del fuoco è maggiore del termine noto dell’equazione della direttrice
• La concavità sarà il basso se la coordinata del fuoco è minore del termine noto dell’equazione della direttrice

La conoscenza dunque delle coordinate del fuoco e dell’equazione della direttrice consente di ricavare in maniera univoca l’equazione della parabola. Dato un fuoco ed una direttrice esiste allora ad essi associata una ed una sola parabola .

Come calcolare l’equazione della parabola note le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice

Vediamo in questo paragrafo come impostare un esercizio in cui sono note le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice. In particolare vedremo due metodi. Il primo comune con altre tipologie di esercizi, richiede la risoluzione di un sistema di equazioni. Il secondo invece utilizza la definizione di parabola per definire l’equazione.

Metodo 1

La risoluzione richiede di impostare un sistema di 3 equazioni uguagliando le formule delle coordinate del vertice e dell’equazione della direttrice ai valori noti. Vediamo in concreto cosa vuole dire per i due casi di parabola verticale e parabola orizzontale:

Caso 1: parabola verticale

Indichiamo con x_F e x_F le coordinate del fuoco e con k il termine noto dell’equazione della direttrice (y=k). Impostiamo il sistema di equazioni in questo modo:

\left\{\begin{matrix}
x_{F} = -\frac{b}{2a}\\\\
y_{F} = \frac{1-\Delta}{4a} 
\\ \\
k = \frac{-1-\Delta}{4a}
\end{matrix}\right.

da notare che sottraendo l’ultima equazione alla prima otteniamo una relazione generica per il coefficiente a:

y_{F}-k_{d} = \frac{1-\Delta}{4a}  - \frac{-1-\Delta}{4a}  = 2\frac{1}{4a}=\frac{1}{2a} \Rightarrow \mathbf{a=\frac{1}{2(y_{F}-k)}}

Caso 2: parabola orizzontale

Nel caso di una parabola orizzontale ricordiamo che la direttrice ha equazione x=k e che le relazioni delle coordinate del fuoco sono invertite. Il sistema di equazioni così diventa:

\left\{\begin{matrix}
y_{F} = -\frac{b}{2a}\\\\
x_{F} = \frac{1-\Delta}{4a} 
\\ \\
k = \frac{-1-\Delta}{4a}
\end{matrix}\right.

la relazione per il coefficiente a diventa dunque:

\mathbf{a=\frac{1}{2(x_{F}-k)}}

Metodo 2: applicazione della definizione di parabola

Il secondo metodo consiste nell’applicazione della definizione di parabola come luogo geometrico di punti. Ricordiamo infatti che “per definizione la parabola è il luogo geometrico di punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola“.

Nel caso di parabole verticali, la definizione si esprime con la formula:

\sqrt{(x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}} = |y-k|

nel caso di parabole orizzontali, l’equazione diventa:

\sqrt{(x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}} = |x-k|

Vedremo sotto alcuni esempi di esercizi ed applicheremo per ciascun esercizio entrambi i metodi appena mostrati. L’applicazione del primo metodo è comune con quella di altri approcci e sicuramente più semplice da ricordare. L’utilizzo del secondo metodo mostra però una maggior padronanza del concetto di parabola oltre che ad una maggior semplicità di calcolo.

Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare l’equazione della parabola avente fuoco in F(-1;2) e direttrice in y=1/2

Metodo 1

Costruiamo il sistema di equazioni come visto nel precedente paragrafo

\left\{\begin{matrix}
\frac{-b}{2a}=-1\\\\ 
\frac{1-\Delta}{4a} = 2\\ \\
\frac{-1-\Delta}{4a}=\frac{1}{2}\\
\end{matrix}\right.

sottraendo la terza equazione alla seconda otteniamo:

\frac{1-\Delta}{4a}-\frac{-1-\Delta}{4a} = 2-\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2a}=\frac{3}{2} \Rightarrow \mathbf{a=\frac{1}{3}}

sostituiamo il valore di a ottenuto alla prima equazione

-\frac{b}{2a} = -1 \Rightarrow b=2a \Rightarrow b=2\frac{1}{3} \Rightarrow  \mathbf{b=\frac{2}{3}}

adesso sostituiamo il valore di a e b alla seconda equazione

\begin{matrix}
\frac{1-\Delta}{4a} =2 \Rightarrow \frac{1-b^{2}+4ac}{4a}=2 \Rightarrow 1-b^{2}+4ac =8a \Rightarrow 1-\frac{4}{9}+ \frac{4}{3}c = \frac{8}{3} \Rightarrow \\\\ \frac{4}{3}c = \frac{8}{3}-1+\frac{4}{9} \Rightarrow \frac{4}{3}c = \frac{24-9+4}{9} \Rightarrow \frac{4}{3}c = \frac{19}{9}  \Rightarrow \mathbf{c=\frac{19}{12}}\end{matrix}

L’equazione della parabola sarà allora:

\mathbf{y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{19}{12}}

Metodo 2

Applichiamo la definizione di parabola

\sqrt{(x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}} = |y-k| \Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}} = |y-\frac{1}{2}|

sviluppiamo i quadrati:

\sqrt{x^{2}+2x+1 +y^{2}-4y+4} = |y-\frac{1}{2}|

eleviamo al quadrato il primo ed il secondo membro. Ricorda che il quadrato di un modulo è uguale al quadrato del suo argomento:

x^{2}+2x+1 +y^{2}-4y+4 = y^{2}-y+\frac{1}{4} \Rightarrow x^{2}+2x+5-\frac{1}{4} = 3y \Rightarrow \mathbf{y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{19}{12}}

Una volta acquisiti i passaggi il secondo metodo risulterà più semplice, meno macchinoso e più elegante!

Esempio 2

Calcolare l’equazione della parabola avente fuoco in F(2;3) e direttrice y=4

Metodo 1

Costruiamo il sistema di equazioni

\left\{\begin{matrix}
-\frac{b}{2a}=2\\\\ 
\frac{1-\Delta}{4a}=3\\ \\
\frac{-1-\Delta}{4a}=4
\end{matrix}\right.

Sottraendo la terza equazione alla seconda otteniamo:

\frac{1}{2a}=-1 \Rightarrow \mathbf{a=-\frac{1}{2}}

sostituiamo il valore del coefficiente a appena ottenuto nella prima equazione del sistema:

-\frac{b}{2a}=2 \Rightarrow -b=4a \Rightarrow -b=4\left( \frac{1}{2} \right) \Rightarrow \mathbf{b=2}

Sostituiamo adesso i valori di a e di b alla seconda equazione. Otteniamo:

\frac{1-\Delta}{4a}=3 \Rightarrow \frac{1-b^{2}+4ac}{4a}=3 \Rightarrow 1-b^{2}+4ac = 12a \Rightarrow 1-4-2c=-6 \Rightarrow \mathbf{c=\frac{3}{2}}

L’equazione della parabola diviene dunque:

\mathbf{y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x+\frac{3}{2}}

Metodo 2

Applichiamo la definizione di parabola

\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}= |y-4| \Rightarrow \sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9}= |y-4| \Rightarrow x^{2}-4x+4+\not{y^{2}}-6y+9 = \not{y^{2}}-8y+16

riorganizziamo l’equazione in funzione di y e otteniamo:

2y=-x^{2}+4x+3 \Rightarrow \mathbf{y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x+\frac{3}{2}}

Esempio 3

Calcolare l’equazione della parabola avente fuoco in F(1/3;1) e direttrice x=2

Metodo 1

Costruiamo il solito sistema di equazioni. Facciamo però attenzione perché in questo caso la parabola è di tipo orizzontale essendo la direttrice verticale. Otteniamo dunque:

\left\{\begin{matrix}
y_{F} = -\frac{b}{2a}\\\\
x_{F} = \frac{1-\Delta}{4a} 
\\ \\
k = \frac{-1-\Delta}{4a}
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
-\frac{b}{2a}=1\\\\
\frac{1-\Delta}{4a}=\frac{1}{3} 
\\ \\
\frac{-1-\Delta}{4a} = 2 
\end{matrix}\right.

sottraendo la terza equazione alla seconda otteniamo:

\frac{1-\Delta}{4a}-\frac{-1-\Delta}{4a} = \frac{1}{3}-2 \Rightarrow \frac{1}{2a}=-\frac{5}{3} \Rightarrow \mathbf{a=-\frac{3}{10}}

sostituendo il valore di a alla prima equazione:

-\frac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b=-2a \Rightarrow b=-2\left(-\frac{3}{10} \right) \Rightarrow \mathbf{b= \frac{3}{5}}

Sostituendo i valori di a e di b alla seconda equazione otteniamo:

\frac{1-\Delta}{4a} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1-b^{2}+4ac}{4a} = \frac{1}{3} \Rightarrow 1-b^{2}+4ac = \frac{1}{3} 4a \Rightarrow 1-\frac{9}{25} -\frac{6}{5}c =-\frac{2}{5} \\ \,\, \\\Rightarrow -\frac{6}{5}c = -\frac{2}{5}-1+ \frac{9}{25} \Rightarrow -6c = -2-5+\frac{9}{5} \\\\ \, \\\\ \Rightarrow -6c = \frac{-10-25+9}{5} \Rightarrow \mathbf{c= \frac{13}{15}}

l’equazione della parabola sarà dunque:

\mathbf{y=-\frac{3}{10}y^{2}+\frac{3}{5}y + \frac{13}{15}}

Metodo 2

Applichiamo la definizione di parabola:

\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+(y-1)^{2}}= |x-2| \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\sqrt{x^{2}+\frac{1}{9} -\frac{2}{3}x+y^{2} -2y +1}= |x-2| \,\,\,\,\Rightarrow \\\\ \, \\\\\, \not{x^{2}}+\frac{1}{9} -\frac{2}{3}x+y^{2} -2y +1 = \not{x^{2}} -4x+4 \Rightarrow  \frac{10}{3}x = -y^{2}+2y +4-1-\frac{1}{9} \\ \,\,\, \\\Rightarrow \frac{10}{3}x = -y^{2}+2y +\frac{26}{9} \Rightarrow \mathbf{x=-\frac{3}{10}y^{2}+\frac{3}{5}y + \frac{13}{15}}