In questo breve appunto vediamo come calcolare l’equazione di una circonferenza quando sono note le coordinate del centro e di un suo punto. In particolare vedere:
- Come calcolare l’equazione della circonferenza quando sono note le coordinate del centro e di un suo punto
- Esempi di esercizi
Come calcolare l’equazione della circonferenza quando sono note le coordinate del centro e di un suo punto
Calcolare l’equazione di una circonferenza quando sono note le coordinate del centro e di un suo punto A(xA,yA) è uno degli esercizi più semplici relativi alla circonferenza. Le coordinate del centro e di un punto della circonferenza sono informazioni sufficienti a determinare univocamente una circonferenza. Inoltre, esiste sempre una soluzione a questo tipo di problema a patto che il punto ed il centro non coincidano.
Ricordiamo che l’equazione generale di una circonferenza in forma canonica è del tipo:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0
il cui centro C(p,q) è tale che:
p=-\frac{a}{2} \\\,\\ q=-\frac{b}{2}
Ciò significa che conoscere le coordinate del centro p e q consente di conoscere immediatamente i coefficienti a e b. Mancherebbe da ricavare il coefficiente c dell’equazione della circonferenza in forma canonica. Per determinare c abbiamo due strade. La prima è calcolare il raggio come distanza tra C ed il punto A appartenente alla circonferenza:
r=\frac{1}{4}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}
La seconda invece consiste nell’imporre il passaggio dell’equazione generica di una circonferenza proprio da A.Di questi, il secondo è preferibile in quanto evita di avere a che fare con le radici.
Dunque, riassumendo, l’esercizio consiste nel risolvere uno dei seguenti sistemi:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}
\end{matrix}\right.
oppure:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0
\end{matrix}\right.
Esempi di esercizi
Esempio 1
Calcolare l’equazione della circonferenza con centro in C(3,3) e passante per il punto A(-2,4)
Risolviamo l’esercizio utilizzando entrambi i sistemi applicabili.
Primo sistema:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}
\end{matrix}\right. \,\, \Rightarrow \,\,\left\{\begin{matrix}
3=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
3=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{(3+2)^{2}+(3-4)^{2}}
\end{matrix}\right.
dalle prime due equazioni otteniamo i valori di a e b:
a=-6; \,\,\,\, b=-6
che possiamo sostituire nella terza equazione che così diventerebbe:
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{(3+2)^{2}+(3-4)^{2}} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}-4c} = \sqrt{(5)^{2}+(-1)^{2}}
moltiplichiamo entrambi i membri per 2 ed eleviamo al quadrato:
(-6)^{2}+(-6)^{2}-4c = 4[(5)^{2}+(-1)^{2}] \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ 36+36-4c= 4(25+1) \\\,\\\Rightarrow\\\,\\72-4c = 104 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ c=-8
L’equazione della circonferenza diventa allora:
\mathbf{x^{2}+y^{2}-6x-6y-8=0}
Secondo sistema:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0
\end{matrix}\right.
le prime due equazioni le abbiamo risolte con il primo sistema mostrato in questo esercizio ottenendo a=b=-6. Sostituiamo questi valori nella terza equazione:
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-6x_{A}-6y_{A}+c=0
Adesso sostituiamo le coordinate di A:
(-2)^{2}+4^{2}-6(-2)-6(4)+c=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4+16+12-24+c=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 8+c=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c=-8
ottenendo come risultato nuovamente l’equazione:
\mathbf{x^{2}+y^{2}-6x-6y-8=0}
Esempio 2
Calcolare l’equazione della circonferenza con centro C(1;-2) e passante per A(2,3)
Risolviamo con il primo sistema:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}
\end{matrix}\right. \,\, \Rightarrow \,\,\left\{\begin{matrix}
1=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
-2=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{(1-2)^{2}+(-2-3)^{2}}
\end{matrix}\right.
dalle prime due equazioni otteniamo:
a=-2; \,\,\,\, b=4
sostituiamo questi valori nella terza equazione:
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{(1-2)^{2}+(-2-3)^{2}} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{2}\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}-4c} = \sqrt{1+25} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{2}\sqrt{4+16-4c} = \sqrt{1+25} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 20-4c = 4(26) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ c=-21
otteniamo dunque l’equazione:
\mathbf{x^{2}+y^{2}-2x+4y-21=0}
Risolviamo adesso con il secondo sistema:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0
\end{matrix}\right.
i primi due parametri li abbiamo calcolati con il sistema precedente ottenendo a=-2 e b=4. Sostituiamo tali valori nella terza equazione del sistema insieme alle coordinate del punto A:
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\2^{2}+3^{2}+2(-2)+3(4)+c=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\4+9-4+12+c=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\c=-21
otteniamo dunque nuovamente l’equazione:
\mathbf{x^{2}+y^{2}-2x+4y-21=0}
