In questo breve appunto vediamo come calcolare l’equazione di una circonferenza quando sono note le coordinate del centro e di un suo punto. In particolare vedere:

 

Come calcolare l’equazione della circonferenza quando sono note le coordinate del centro e di un suo punto

Calcolare l’equazione di una circonferenza quando sono note le coordinate del centro e di un suo punto A(xA,yA) è uno degli esercizi più semplici relativi alla circonferenza. Le coordinate del centro e di un punto della circonferenza sono informazioni sufficienti a determinare univocamente una circonferenza. Inoltre, esiste sempre una soluzione a questo tipo di problema a patto che il punto ed il centro non coincidano.

equazione circonferenza note coordinate del centro e di un suo punto

Ricordiamo che l’equazione generale di una circonferenza in forma canonica è del tipo:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

il cui centro C(p,q) è tale che:

p=-\frac{a}{2} \\\,\\ q=-\frac{b}{2}

Ciò significa che conoscere le coordinate del centro p e q consente di conoscere immediatamente i coefficienti a e b. Mancherebbe da ricavare il coefficiente c dell’equazione della circonferenza in forma canonica. Per determinare c abbiamo due strade. La prima è calcolare il raggio come distanza tra C ed il punto A appartenente alla circonferenza:

r=\frac{1}{4}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}  = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}

La seconda invece consiste nell’imporre il passaggio dell’equazione generica di una circonferenza proprio da A.Di questi, il secondo è preferibile in quanto evita di avere a che fare con le radici.

Dunque, riassumendo, l’esercizio consiste nel risolvere uno dei seguenti sistemi:

\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}  = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}

\end{matrix}\right.

oppure:

\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0
\end{matrix}\right.
Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare l’equazione della circonferenza con centro in C(3,3) e passante per il punto A(-2,4)

Risolviamo l’esercizio utilizzando entrambi i sistemi applicabili.

Primo sistema:

\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}  = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}

\end{matrix}\right. \,\, \Rightarrow  \,\,\left\{\begin{matrix}
3=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
3=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}  = \sqrt{(3+2)^{2}+(3-4)^{2}}

\end{matrix}\right.

dalle prime due equazioni otteniamo i valori di a e b:

a=-6; \,\,\,\, b=-6

che possiamo sostituire nella terza equazione che così diventerebbe:

\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}  = \sqrt{(3+2)^{2}+(3-4)^{2}} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}-4c}  = \sqrt{(5)^{2}+(-1)^{2}}

moltiplichiamo entrambi i membri per 2 ed eleviamo al quadrato:

(-6)^{2}+(-6)^{2}-4c  = 4[(5)^{2}+(-1)^{2}] \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ 36+36-4c= 4(25+1) \\\,\\\Rightarrow\\\,\\72-4c = 104 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ c=-8

L’equazione della circonferenza diventa allora:

\mathbf{x^{2}+y^{2}-6x-6y-8=0}

Secondo sistema:

\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0
\end{matrix}\right.

le prime due equazioni le abbiamo risolte con il primo sistema mostrato in questo esercizio ottenendo a=b=-6. Sostituiamo questi valori nella terza equazione:

x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-6x_{A}-6y_{A}+c=0

Adesso sostituiamo le coordinate di A:

(-2)^{2}+4^{2}-6(-2)-6(4)+c=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4+16+12-24+c=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 8+c=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c=-8

ottenendo come risultato nuovamente l’equazione:

\mathbf{x^{2}+y^{2}-6x-6y-8=0}

Esempio 2

Calcolare l’equazione della circonferenza con centro C(1;-2) e passante per A(2,3)

Risolviamo con il primo sistema:

\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}  = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}

\end{matrix}\right. \,\, \Rightarrow  \,\,\left\{\begin{matrix}
1=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
-2=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}  = \sqrt{(1-2)^{2}+(-2-3)^{2}}

\end{matrix}\right.

dalle prime due equazioni otteniamo:

a=-2; \,\,\,\, b=4

sostituiamo questi valori nella terza equazione:

\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}  = \sqrt{(1-2)^{2}+(-2-3)^{2}} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{2}\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}-4c}  = \sqrt{1+25}  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{2}\sqrt{4+16-4c}  = \sqrt{1+25} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 20-4c  = 4(26) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ c=-21

otteniamo dunque l’equazione:

\mathbf{x^{2}+y^{2}-2x+4y-21=0}

Risolviamo adesso con il secondo sistema:

\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0
\end{matrix}\right.

i primi due parametri li abbiamo calcolati con il sistema precedente ottenendo a=-2 e b=4. Sostituiamo tali valori nella terza equazione del sistema insieme alle coordinate del punto A:

x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\2^{2}+3^{2}+2(-2)+3(4)+c=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\4+9-4+12+c=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\c=-21

otteniamo dunque nuovamente l’equazione:

\mathbf{x^{2}+y^{2}-2x+4y-21=0}
Calcolare l’equazione di una circonferenza note le coordinate del centro e di un suo punto