Calcolare l’equazione di una circonferenza dati tre dei suoi punti

Vediamo in questo appunto come calcolare l’equazione di una circonferenza dati tre dei suoi punti. In particolare in questo appunto vedremo:

• Come calcolare l’equazione di una circonferenza dati tre dei suoi punti – metodo classico
• Metodo alternativo
• Esempi di esercizi

Come calcolare l’equazione di una circonferenza dati tre dei suoi punti – metodo classico

L’equazione di una circonferenza espressa in forma canonica:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

dipende dai tre coefficienti a,b e c. Per poter individuare dunque in maniera univoca una circonferenza è necessario che siano disponibili tre informazioni indipendenti. Conoscere le coordinate di tre dei suoi punti, ad esempio è uno di questi casi. La condizione fondamentale per poter procedere con il calcolo dell’equazione della circonferenza è che i tre punti dati non siano allineati tra loro. Ovvero che i tre punti non appartengano ad una stessa retta. Ricordiamo che per verificare l’allineamento di tre punti è possibile verificare l’identità nella seguente formula:

\frac{y_{3}-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{x_{3}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}

rimandiamo all’utilizzo della formula quando disegnando i tre punti sul piano cartesiano ci sia il dubbio che questi siano allineati tra loro. Adesso, dati tre punti A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), D(x_D,y_D) è possibile ricavare il valore dei coefficienti a, b e c andando a risolvere il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
x_{A}^{2} + y_{A}^{2} + ax_{A}+by_{A}+c=0\\ \\
x_{B}^{2} + y_{B}^{2} + ax_{B}+by_{B}+c=0\\ \\
x_{D}^{2} + y_{D}^{2} + ax_{D}+by_{D}+c=0
\end{matrix}\right.

dove ogni equazione altro non è che l’equazione della generica circonferenza alla quale stiamo imponendo il passaggio per uno specifico punto. La risoluzione di questo sistema consentirà di calcolare l’equazione di una circonferenza noti tre dei suoi punti. Nel caso in cui i tre punti siano allineati, il sistema non avrà soluzioni.

Metodo alternativo

Il secondo metodo che qui proponiamo è un metodo basato sulle nozioni delle proprietà geometriche di una circonferenza. Consideriamo una circonferenza e tre dei suoi punti A,B e D. Sappiamo che qualsiasi corda di una circonferenza è tale che il suo asse passi dal centro della circonferenza. Questo è facilmente dimostrabile considerando la definizione di asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico di punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso. Adesso in una corda, gli estremi del segmento appartengono alla circonferenza e dunque sono equidistanti dal centro della circonferenza di una distanza pari ad r.

si noti dunque che il centro della circonferenza è circocentro del triangolo ABD.

Dati dunque tre punti, questo metodo alternativo richiederebbe di:

1. Calcolare l’equazione dell’asse di due dei segmenti
2. Individuare il punto di intersezione di tali due assi risolvendo il sistema di equazioni associato. Tale punto di intersezione è il centro C della circonferenza
3. Adesso note le coordinate del centro, si può operare in due modi:
   • Calcolare il raggio come distanza del centro da uno dei tre punti ed applicare l’equazione della circonferenza applicando la sua definizione
   • Utilizzare le coordinate del centro C(-a/2;-b/2) per calcolare i coefficienti a e b e sostituire le coordinate di uno dei tre punti all’equazione generica di una circonferenza per calcolare il coefficiente c.

Adesso, questo secondo metodo è sicuramente più laborioso di quello mostrato nel precedente paragrafo e lo mostreremo in uno degli esempi sotto. E’ però di dovere menzionarlo in quanto si basa su delle proprietà della circonferenza che possono essere utili nella risoluzione di generici esercizi. Quale metodo utilizzereste infatti se al posto di conoscere 3 punti della circonferenza ne conosceste due più l’equazione dell’asse di un’altra corda della circonferenza?

Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare l’equazione della circonferenza dati tre dei suoi punti A(1,2) B(3,2) F(-1,-3)

Applichiamo il primo metodo mostrato i questo appunto costruendo il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
x_{A}^{2} + y_{A}^{2} + ax_{A}+by_{A}+c=0\\ \\
x_{B}^{2} + y_{B}^{2} + ax_{B}+by_{B}+c=0\\ \\
x_{F}^{2} + y_{F}^{2} + ax_{F}+by_{F}+c=0
\end{matrix}\right.\,\, \Rightarrow \,\, \left\{\begin{matrix}
1 + 4 + a+2b+c=0\\ \\
9 + 4 + 3a+2b+c=0\\ \\
1 + 9 -a-3b+c=0
\end{matrix}\right. \,\, \Rightarrow \,\, \left\{\begin{matrix}
5 + a+2b+c=0\\ \\
13+ 3a+2b+c=0\\ \\
10 -a-3b+c=0
\end{matrix}\right.

La prima e la seconda equazione hanno i termini 2b e c in comune. Sottraiamo la prima equazione alla seconda. Otteniamo:

13+3a+2b+c-5-a-2b-c=0 \Rightarrow 8+2a=0 \Rightarrow \mathbf{a=-4}

sostituiamo il valore del coefficiente a alla prima equazione. Otteniamo:

5-4+2b+c=0 \Rightarrow 1+2b+c=0 \Rightarrow \mathbf{b=-\frac{1+c}{2}}

sostituiamo il valore di a e di b ottenuti alla terza equazione:

10+4+3\left( \frac{1+c}{2}\right) +c=0 \Rightarrow  14+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}c+c=0 \Rightarrow 28+3+3c+2c=0  \Rightarrow \mathbf{c=-\frac{31}{5}}

Adesso ritorniamo a b

b=-\frac{1+c}{2} = -\frac{1-\frac{31}{5}}{2} =\frac{26}{10} \Rightarrow \mathbf{b=\frac{13}{5}}

L’equazione della circonferenza sarebbe allora:

x^{2}+y^{2}-4x+\frac{13}{5}y-\frac{31}{5}=0

e che possiamo riscrivere nella forma:

5x^{2}+5y^{2}-20x+13y-31=0

Per verificare la correttezza dell’equazione, proviamo a sostituire le coordinate del punto A(1,2):

5+20-20+26+31=0 \Rightarrow0=0

Il punto appartiene alla circonferenza appena calcolata!

Metodo alternativo

Proviamo ad applicare il secondo metodo mostrato in questo appunto. I punti A(1,2) e B(3,2) sono due punti disposti disposti sulla retta y=2. L’asse del segmento AB sarà una retta parallela dunque all’asse delle y e che passa dal punto medio dei due punti. In questo caso il punto medio è D(2,2). Dunque l’asse del segmento AB è x=2.

Consideriamo adesso i punti A(1,2) e F(-1,-3) e calcoliamo le coordinate del punto medio E:

x_{E} = \frac{x_{A}+x_{F}}{2} = \frac{1-1}{2}=0 \\ \, \\ y_{E} = \frac{y_{A}+y_{F}}{2} = \frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2} 

Il punto medio E ha coordinate (0,-1/2). Adesso calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per i punti A e F:

m_{AF} = \frac{y_{A}-y_{F}}{x_{A}-x_{F}} = \frac{2+3}{1+1}= \frac{5}{2}

L’asse del segmento AF avrà un coefficiente angolare che sarà l’antireciproco di quello appena calcolato (condizione di perpendicolarità) e avrà allora equazione:

y-y_{E} = -\frac{1}{m_{AF}}(x-x_{E}) \Rightarrow y+\frac{1}{2} = -\frac{2}{5} (x-0) \Rightarrow \mathbf{y=-\frac{2}{5}x -\frac{1}{2}}

Adesso facciamo intersecare i due assi mettendoli a sistema:

\left\{\begin{matrix}
x=2\\ 
y=-\frac{2}{5}x -\frac{1}{2}
\end{matrix}\right. \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}
x=2\\ 
y=-\frac{4}{5} -\frac{1}{2} \Rightarrow y=-\frac{13}{10}
\end{matrix}\right.  

Adesso sappiamo che il centro della circonferenza avrà coordinate F(2; -13/10). Calcoliamo il raggio della circonferenza come distanza del centro F dal punto A:

r= \sqrt{\left(x_{F}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{F}-y_{A}\right)^{2}} = \sqrt{\left(2-1\right)^{2}+\left(-\frac{13}{10}-2\right)^{2}} =\sqrt{\left(1\right)^{2}+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{100+1089}{100}} = \sqrt{\frac{1189}{100}}

Applichiamo adesso la definizione di circonferenza:

\sqrt{\left(x-x_{F}\right)^{2}+\left(y-y_{F}\right)^{2}} = r \\ \, \Rightarrow \,\\ \left(x-x_{F}\right)^{2}+\left(y-y_{F}\right)^{2} = r^{2} \\ \, \Rightarrow \,\\
\left(x-2\right)^{2}+\left(y+\frac{13}{10}\right)^{2} =  \frac{1189}{100}

sviluppiamo i quadrati:

x^{2} -4x+4+y^{2} +\frac{13}{5}y+\frac{169}{100}=\frac{1189}{100} \\ \, \Rightarrow \\ x^{2}+y^{2}-4x+\frac{13}{5}y +\frac{400+169-1189}{100}=0 \\ \, \Rightarrow \\ x^{2}+y^{2}-4x+\frac{13}{5}y -\frac{620}{100}=0 \\ \, \Rightarrow \\ x^{2}+y^{2}-4x+\frac{13}{5}y -\frac{31}{5} =0

moltiplicando tutto per 5 otterremo di nuovo:

5x^{2}+5y^{2}-20x+13y-31=0

Abbiamo applicato questo secondo metodo solo perché è sempre utile saper applicare le nozioni di geometria piana ad un generico esercizio. In generale dati tre punti è fortemente consigliabile utilizzare il primo metodo mostrato in questo esercizio!

Esempio 2

Calcolare l’equazione della circonferenza dati tre dei suoi punti A(1,1), B(2,2) D(0,0)

Facciamo subito notare che i tre punti sono allineati e che fanno parte della retta y=x. Non esiste dunque alcuna circonferenza che passi per questi tre punti. Proponiamo comunque questo esercizio per mostrare cosa accade costruendo il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
x_{A}^{2} + y_{A}^{2} + ax_{A}+by_{A}+c=0\\ \\
x_{B}^{2} + y_{B}^{2} + ax_{B}+by_{B}+c=0\\ \\
x_{D}^{2} + y_{D}^{2} + ax_{D}+by_{D}+c=0
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
1+1+ a+b+c=0\\ \\
4 + 4 + 2a+2b+c=0\\ \\
0+0+0+0+c=0
\end{matrix}\right.

Il punto D ci fornisce l’indicazione che c=0. Andiamo a sostituire il valore di c nelle prime due equazioni:

\left\{\begin{matrix}
2+ a+b=0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\,a+b=-2\\ \\
8 + 2a+2b=0 \,\,\, \Rightarrow\,\,\,  a+b=-4\\ \\
c=0 \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,
\end{matrix}\right.

Dalle prime due equazioni otteniamo che a+b + contemporaneamente -2 e -4. Il sistema non ammette dunque soluzioni e la circonferenza non esiste. Si noti come a differenza della parabola che diverge in una retta, la circonferenza non diverge in questo caso critico in un’altra curva.

Esempio 3

Calcolare l’equazione della circonferenza dati tre dei suoi punti A(-6,3) B(-3,2) D(0,3)

Costruiamo il sistema di equazione:

\left\{\begin{matrix}
x_{A}^{2} + y_{A}^{2} + ax_{A}+by_{A}+c=0\\ \\
x_{B}^{2} + y_{B}^{2} + ax_{B}+by_{B}+c=0\\ \\
x_{D}^{2} + y_{D}^{2} + ax_{D}+by_{D}+c=0
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
36+9-6a+3b+c=0\\ \\
9+4 -3a +2b+c=0\\ \\
0 + 9 + 0+3b+c=0
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
45-6a+3b+c=0\\ \\
13 -3a +2b+c=0\\ \\
9 +3b+c=0
\end{matrix}\right. 

Adesso sottraiamo la terza equazione alla prima in quanto entrambe le equazioni presentano il biomio3b+c:

45-6a+3b+c-9-3b-c=0 \Rightarrow 36-6a = 0  \Rightarrow  \mathbf{a=6}

Dalla terza equazione ricaviamo invece:

c=-3b-9

Sostituiamo adesso a e c nella seconda equazione. Otteniamo:

13-3a+2b+c=0 \Rightarrow 13-18+2b-3b-9=0 \Rightarrow -14-b=0 \Rightarrow \mathbf{b=-14}

allora il coefficiente c sarà:

c=-3b-9 \Rightarrow c=42-9 \Rightarrow \mathbf{c=33}

l’equazione della circonferenza sarà dunque:

\mathbf{x^{2}+y^{2} +6x-14y+33=0}