In questo appunto vediamo in che modo calcolare l’equazione di un’ellisse di cui sono note le coordinate dei suoi vertici. In particolare l’appunto sarà così strutturato

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Breve accenno sull’equazione dell’ellisse e sui suoi vertici

Senza entrare troppo nel dettaglio ricordiamo che l’equazione canonica di una generica ellisse, con i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente, altro non è che un’equazione di secondo grado in x ed in y del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

dove a è sempre maggiore di b. I due coefficienti a e b indicano la lunghezza dei semiassi maggiore e minore:

  • Se a è posizionato al denominatore del termine in x, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati orizzontalmente
  • Se a è posizionato al denominatore del termine in y, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati verticalmente

In un’ellisse, ci sono 4 vertici che sono disposti a due a due agli estremi degli assi dell’ellisse:

equazione dell'ellisse note le coordinate dei suoi vertici: coordinate dei vertici quando il centro è nell'origine

le coordinate dei vertici sono immediatamente collegate all’equazione dell’ellisse, soprattutto nel caso come quello in figura in cui l’ellisse abbia centro coincidente con l’origine degli assi. Le coordinate dei vertici dell’ellisse, infatti, contengono i valori dei coefficienti a e b dell’equazione dell’ellisse. Quando il centro è in un altro punto, la situazione si complica leggermente e lo vedremo dopo.

Come calcolare l’equazione dell’ellisse note le coordinate dei suoi vertici

Calcolare l’equazione dell’ellisse note le coordinate dei suoi vertici è molto semplice quando il centro coincide con l’origine degli assi. E’ necessario infatti conoscere le coordinate di due vertici appartenenti a due assi diversi per poter calcolare l’equazione dell’ellisse. Conoscere ad esempio il vertice A1 ed il vertice B2 ci consente di avere le due informazioni indipendenti relative ai coefficienti a e b. Nel caso in cui si conoscessero i due vertici estremi di uno stesso asse, non sarà possibile calcolare l’equazione dell’ellisse. Ipotizziamo infatti di conoscere A1 e A2:

equazione dell'ellisse note le coordinate dei suoi vertici

esistono infinite ellissi che hanno i vertici in A1 e A2. Abbiamo affrontato questo discorso anche quando abbiamo descritto come calcolare l’equazione di un’ellisse quando sono note le coordinate di due suoi punti affermando che conoscere due punti simmetrici tra di loro non fornisce due informazioni indipendenti per il calcolo dell’equazione.

Passiamo adesso al problema pratico: Come calcoliamo l’equazione dell’ellisse quando sono note le coordinate di due vertici che non appartengono allo stesso asse e l’ellisse ha centro nell’origine degli assi? Ipotizziamo di conoscere i seguenti vertici di coordinate:

 A(-4,0)\\\,\\B(0,3) 

Il coefficiente a sarà contenuto nelle coordinate del vertice appartenente al semiasse maggiore. Nell’esempio proposto sarà il punto A ad appartenere al semiasse maggiore. Lo deduciamo dal fatto che la sua ascissa in modulo è maggiore rispetto all’ordinata del punto B. Dunque l’ellisse ha i fuochi allineati orizzontalmente. Possiamo dunque scrivere:

a= |x_{A}| = |-4|=4 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a^{2}=16 \\\,\\ b=|y_{B}| = |3|=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b^{2}=9

dunque l’equazione della nostra ellisse sarà:

\frac{x^{2}}{16} +\frac{y^{2}}{9} =1 

Ricapitoliamo i passaggi:

  1. Verificare che i due vertici non appartengano allo stesso asse
  2. Identificare il tipo di ellisse, se orizzontale o verticale, direttamente dalle coordinate dei vertici
  3. Estrapolare i valori dei coefficienti a e b direttamente dalle coordinate dei vertici
  4. Scrivere l’equazione dell’ellisse

Nel prossimo paragrafo vediamo cosa comporta avere a che fare con il caso di un’ellisse traslata

Caso di ellisse traslata

Quando abbiamo a che fare con un’ellisse traslata, il centro dell’ellisse non coincide più con l’origine degli assi. L’ellisse ha equazione del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{(x-x_{C})^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}} =1 

a seconda che il semiasse maggiore sia posizionato orizzontalmente o verticalmente. La difficoltà maggiore con un’ellisse traslata sta nel fatto che conoscere le coordinate dei vertici non consente di avere automaticamente il valore dei semiassi. Occorre necessariamente conoscere le coordinate del centro. Ricordiamo che se indichiamo con il xC e yC le coordinate del centro, abbiamo che le coordinate dei vertici saranno:

 

A_{1} (x_{1},y_{C}) \\\,\\ A_{2} (x_{2},y_{C})\\\,\\ B_{1} (x_{C},y_{1})\\\,\\ B_{2} (x_{C},y_{2})

lo vediamo bene in figura:

equazione dell'ellisse note le coordinate dei suoi vertici: ellisse traslata

ed i semiassi avranno, nel caso di un’ellisse orizzontale, lunghezze date da:

a= |x_{1}-x_{C}|=|x_{2}-x_{C}| \\\,\\b= |y_{1}-y_{C}|=|y_{2}-y_{C}| 

Ricapitoliamo i passaggi:

  1. Verificare che i due vertici non appartengano allo stesso asse (non devono avere coordinate in comune). Disegnare i due vertici su un piano cartesiano, per facilitare lo svolgimento dell’esercizio.
  2. Estrapolare i valori dei coefficienti a e b relazionando le coordinate dei vertici con quelle del centro. Individuare di che tipo di ellisse si tratta
  3. Scrivere l’equazione dell’ellisse

Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare l’equazione dell’ellisse avente vertici in E(2,0) e D(0,-3) con centro nell’origine degli assi

Poiché il centro è nell’origine degli assi possiamo ricavare i valori dei semiassi a e b direttamente dalle coordinate dei vertici. Poiché D, che si trova sull’asse delle ordinate, è più distante dal centro di C, il semiasse maggiore sarà dunque giacente sull’asse delle ordinate e l’ellisse sarà di tipo verticale.

Possiamo dunque scrivere che:

a=|y_{D}-y_{C}| = |-3-0|= |-3| =3 \\\,\\
b=|x_{E}-c_{C}| = |2-0|= |2| =2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

dunque l’equazione della nostra ellisse diviene:

\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 

Esercizio 2

Calcolare l’equazione dell’ellisse avente vertici in E(2,0) e D(0,-3) con centro nel punto C(2,-3)

Si faccia innanzitutto un confronto con l’esercizio precedente. I vertici sono gli stessi ma il centro è diverso! Questo ci insegna che non bisogna mai dare per scontato che l’ellisse abbia il centro nell’origine degli assi. Risolviamo dunque questo esercizio.

Non siamo in grado a priori di dire se l’ellisse sia di tipo orizzontale o verticale. Sappiamo punto E ha in comune l’ascissa del centro, per cui il semiasse a cui appartiene sarà dato dalla differenza della sua ordinata con l’ordinata del centro. Indicheremo questo semiasse, che è il semiasse verticale, per il momento con la lettera e:

e= |y_{E}-y_{C}|= |0-(-3)|= 3

facciamo la stessa cosa con il punto D e indichiamo il semiasse a cui appartiene, che è il semiasse orizzontale con la lettera d:

d= |x_{D}-x_{C}| = |2-0|=2

poiché il semiasse verticale è maggiore del semiasse orizzontale, possiamo indicare il primo con la classica notazione a ed il secondo con la notazione b. L’ellisse avrà equazione del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}} =1 

e quindi possiamo scrivere:

\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y+3)^{2}}{9} =1 

che altro non è che l’ellisse dell’esercizio precedente traslate di un vettore v(2,-3)

Calcolare l’equazione dell’ellisse note le coordinate dei suoi vertici