retta tangente ad una circonferenza

In questo appunto vediamo come calcolare l’equazione della retta tangente ad una circonferenza e passante per un punto. In particolare vedremo:

Punti e circonferenza. Quando un punto può appartenere ad una retta tangente ad una circonferenza
Retta tangente ad una circonferenza:
Conclusione
Esempi di esercizi

Punti e circonferenza. Quando un punto può appartenere ad una retta tangente ad una circonferenza

Un generico punto del piano cartesiano può assumere tre diverse posizioni rispetto ad una circonferenza. Esso può appartenere alla circonferenza, essere interno ad essa o esterno ad essa. Abbiamo già visto in che modo è possibile identificare la posizione di un punto rispetto ad una circonferenza al seguente link. Riassumiamo i tre possibili casi nella figura sotto:

adesso la domanda a cui vogliamo rispondere è: dato un generico punto P del piano cartesiano, è sempre possibile tracciare una retta passante da esso e tangente alla parabola? La risposta a questa domanda è la seguente:

Non esistono rette tangenti ad una circonferenza e passante per P se P è un punto interno alla circonferenza. Tutte le rette passanti per P saranno secanti la circonferenza
Esiste una sola retta tangente ala circonferenza e passante per P se P appartiene alla circonferenza
Se P è esterno alla circonferenza esistono due rette passante per esso e tangenti alla circonferenza

Riassumiamo quanto detto nell’immagine sotto:

Il punto P₁ è interno alla circonferenza e non è possibile disegnare una retta passante per esso e tangente alla circonferenza. P₂ appartiene alla circonferenza per cui è possibile disegnare una sola retta passante per esso e tangente alla circonferenza. P₃ invece è esterno. Esistono dunque due rette passanti per esso e tangenti alla circonferenza.

Nota:

Una retta tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.

Vediamo nei prossimi paragrafi come è possibile calcolare l’equazione di tali rette sapendo le coordinate di un punto ad esse appartenente che non sia interno alla circonferenza.

Retta tangente ad una circonferenza

Cerchiamo adesso di definire algebricamente dei metodi che consentano di definire le equazioni delle rette tangenti ad una circonferenza partendo dalle coordinate di un punto P. I primi due metodi che mostreremo sono indicati nel caso in cui il punto P sia esterno alla circonferenza. I successivi due invece sono indicati se il punto P appartiene alla circonferenza:

1)Il primo, definisce il fascio di rette proprio avente come centro il punto P assegnato e verifica quali rette del fascio sono tangenti alla circonferenza mettendo a sistema l’equazione del fascio di rette con l’equazione della circonferenza. Questo metodo è indicato se P è esterno alla circonferenza. E’ un metodo sconsigliato

2)Il secondo metodo parte ancora dal fascio proprio di rette ed impone di individuare la retta dalla quale il centro della circonferenza è distante di una distanza pari al raggio della circonferenza. Questo metodo è indicato se P è esterno alla circonferenza ma può essere utilizzato anche quando P appartiene alla circonferenza. E’ il metodo consigliato

3) Il terzo metodo invece, utilizza le formule di sdoppiamento che possono essere derivate dal fascio proprio del primo metodo. Si usa quando P appartiene alla circonferenza

4) Il quarto metodo calcola il coefficiente angolare della retta passante per C e P. Applica l’antireciproco del coefficiente angolare al fascio proprio con centro in P. Tale metodo è da utilizzare se il punto P appartiene alla circonferenza

Metodo I: fascio proprio di rette

Partiamo dal metodo del fascio proprio di rette seppur questo sia il più sconsigliato per i motivi che vedremo dopo. Lo esponiamo per primo poiché, in genere, data l’esperienza nella parabola, chiunque sarebbe portato ad utilizzare questo metodo. Consideriamo, dunque, la generica circonferenza di equazione:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

ed un punto P di coordinate:

P(x_{P}, y_{P})

e vogliamo determinare, se esistono, quali e quante rette passanti per P sono tangenti alla circonferenza. Consideriamo il fascio proprio di rette aventi come centro il punto P. Tale fascio avrà equazione:

y-y_{P} = m(x-x_{P})

questo metodo risolve il problema di individuare le rette tangenti ad una circonferenza mettendo a sistema le due equazioni:

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\\,\\ y-y_{P} = m(x-x_{P}) \,\,\,\,\,\,\,\, \end{matrix}\right.

ricaviamo il valore della variabile y nella seconda equazione ed otteniamo:

y = m(x-x_{P})+y_{P}

e a questo punto sostituiamola nella prima equazione del sistema:

x^{2}+[m(x-x_{P})+y_{P}]^{2}+ax+b[m(x-x_{P})+y_{P}]+c=0

che è l’equazione risolvente del sistema di equazioni proposto. Si tratta di un’equazione di secondo grado in x e dipendente dal parametro m. Potremmo riscrivere l’equazione sopra sviluppando i quadrati.

x^{2}+m^{2}x^{2}+m^{2}x_{P}^{2} -2m^{2}xx_{P}+y_{P}^{2}+2my_{P}x-2my_{P}x_{P}+ax+mbx+\\\,\\-mbx_{P}+by_{P}+c=0 \\ \, \\ \Rightarrow \\\,\\ (1+m^{2})x^{2}+(2my_{p}-2m^{2}x_{P}+a+mb)x+m^{2}x_{p}^{2}+y_{P}^{2}-2my_{p}x_{p}+\\\,\\-mbx_{p}+by_{P}+c=0

Adesso, l’equazione è piuttosto complessa e così sarà anche nella risoluzione degli esercizi. Quello che vogliamo far notare è che per individuare la retta tangente, è necessario imporre che il delta di questa equazione sia nullo! Ricordiamo però che il delta richiede di calcolare il quadrato del coefficiente di x. Nel caso sopra mostrato il quadrato mostra il termine -2m²x_p. Esso al quadrato fornirà un termine m⁴ per cui avremo a che fare con un’equazione di quarto grado! Sviluppiamolo per il solo piacere di essere completi:

\Delta = b'^{2}-4a'c' = (2my_{p}-2m^{2}x_{P}+a+mb)^{2}-4(1+m^{2})(m^{2}x_{p}^{2}+y_{P}^{2}-2my_{p}x_{p}-mbx_{p}+by_{P}+c) =0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \Delta= 4m^{2}y_{P}^{2}+4m^{4}x^{2}_{P}+a^{2}+m^{2}b^{2}-8m^{3}x_{P}y_{P}+4amy_{P}+4m^{2}by_{P}-4am^{2}x_{P}+\\\,\\-4m^{3}bx_{P}+2amb-4m^{2}x^{2}_{P}-4y_{P}^{2}+8mx_{p}y_{P}+4mbx_{P}-4by_{P}-4c-4m^{4}x_{P}^{2}-4m^{2}y_{P}^{2}+8m^{3}x_{P}y_{P}+\\\,\\+4m^{3}bx_{P}-4m^{2}c-4m^{2}by_{P}=0

che si semplifica in un’equazione di secondo grado in m:

(b^{2}-4ax_{P}-4x_{P}^{2}-4c)m^{2} +(4ay_{P}+2ab+8x_{P}y_{P} +4bx_{P})m + a^{2}+4c+4y_{P}^{2}+4by_{P} =0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1.1)

arrivare fino qui è dunque molto complicato. Con quest’ultimo passaggio si vuole far solo notare che i termini di m alla quarta e alla terza si cancellano e che quindi rimane una più semplice equazione di secondo grado. A nostro parere questo metodo è ostico e non è consigliabile a meno che il punto P non coincidi con l’origine. In tale caso le sue coordinate saranno zero e lo svolgimento si semplifica di parecchio!

Questo metodo potrebbe essere utilizzato anche quando il punto appartiene alla circonferenza. Tuttavia, i metodi che mostreremo dopo sono più semplici da utilizzare.

Ricapitolando, questo metodo richiede di:

Calcolare l’equazione del fascio proprio con centro in P
Risolvere il sistema di equazioni con l’equazione della circonferenza e de l fascio
Ottenere l’equazione risolvente di secondo grado in x
Imporre il delta di questa equazione uguale a zero
Risolvere l’equazione di secondo grado in m
Una volta ottenuti i valori di m, sostituirli all’equazione del fascio proprio

Metodo II: distanza del centro della circonferenza dal fascio di rette

Si consideri nuovamente l’equazione generica di una circonferenza:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

il suo centro C avrà coordinate:

C\left(x_{C},y_{C}\right) \Rightarrow C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)

Adesso consideriamo ancora una volta un generico punto P ed il fascio di rette proprio avente P come centro del fascio. Esso avrà equazione:

y-y_{P} = m(x-x_{P}) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ y = m(x-x_{p}) +y_{P}

di questo fascio interessa la retta tangente alla circonferenza. Essa sarà distante dal centro di una distanza pari al raggio. Imponiamo dunque la distanza del centro C dall’equazione del fasico pari ad r. Puoi trovare la formula della distanza di un punto da una retta al seguente link. Applicandola al nostro centro e al fascio otteniamo:

\frac{\left | y_{C}-(mx_{C}-mx_{P}+y_{P})\right |}{\sqrt{m^{2}+1}}=r \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{\left | -\frac{b}{2}-(-m\frac{a}{2}-mx_{P}+y_{P})\right |}{\sqrt{m^{2}+1}}=r

eleviamo tutto al quadrato e moltiplichiamo entrambi i membri per il termine m²+1 che sarà certamente diverso da zero in quanto positivo sempre:

\left[ -\frac{b}{2}-(-m\frac{a}{2}-mx_{P}+y_{P})\right]^{2}= (m^{2}+1)r \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{b^{2}}{4}+m^{2}\frac{a^{2}}{4} +m^{2}x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-m\frac{ab}{2}-mbx_{P}+by_{P} +m^{2}ax_{P}-may_{P}+\\\,\\-2mx_{P}y_{P} = (m^{2}+1)\left(\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c\right) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\frac{b^{2}}{4}+m^{2}\frac{a^{2}}{4} +m^{2}x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-m\frac{ab}{2}-mbx_{P}+by_{P} +m^{2}ax_{P}-may_{P}+\\\,\\-2mx_{P}y_{P} -m^{2}\frac{a^{2}}{4}-m^{2}\frac{b^{2}}{4} +m^{2}c-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}+c=0

semplificando e riorganizzando otteniamo:

\left(-\frac{b^{2}}{4}+c+x_{P}^{2}+ax_{P}\right)m^{2} +\left(-\frac{ab}{2}-bx_{P}-ay_{P}-2x_{P}y_{P}\right)m+c+\\\,\\-\frac{a^{2}}{4}+y_{P}^{2}+by_{P}=0

Adesso moltiplicando entrambi i membri per -4 otteniamo la (1.1) del paragrafo precedente.

Nota:

Lo svolgimento teorico fino a qui potrebbe sembrare complesso e di difficile applicazione. Abbiamo però dimostrato che utilizzare la formula della distanza consente di ottenere lo stesso risultato con meno passaggi. Si consiglia dunque questo approccio. Negli esempi di esercizi sotto sarà più semplice intuire i passaggi in quanto avremo a che fare con esempi numerici. Questo tipo metodo può anche essere utilizzato se il punto appartiene alla circonferenza.

Ricapitolando questo metodo richiede:

Determinare le coordinate del centro C della circonferenza
Calcolare l’equazione del fascio proprio con centro in P
Imporre la distanza del centro C dal fascio uguale ad r e ricavare i valori di m
Sostituire i valori di m all’equazione del fascio proprio

Metodo III con utilizzo delle formule di sdoppiamento

Quando il punto P appartiene alla circonferenza è possibile calcolare l’equazione della retta tangente alla circonferenza utilizzando le formule di sdoppiamento. Abbiamo già trattato l’utilizzo delle formule di sdoppiamento dimostrandole nel caso della parabola. Non ripeteremo l’esercizio nel caso della circonferenza. Immaginiamo, dunque, di l’equazione di una circonferenza:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

ed un punto ad essa appartenente di coordinate:

P(x_{P},y_{P})

applichiamo le formule di sdoppiamento sostituendo i termini dipendenti da x e da y. Le sostituzioni da eseguire sono:

y^{2} \rightarrow y_{P}y \\\,\\ x^{2} \rightarrow x_{P}x \\\,\\ y\rightarrow \frac{y_{P} + y}{2}\\\,\\ x\rightarrow \frac{x_{P} + x}{2}

dunque l’equazione della circonferenza diviene:

x_{P}x+y_{P}y+a(x_{P} + x)+b(y_{P}+y)+c=0

Come si può notare, l’utilizzo delle formule di sdoppiamento elimina i termini al quadrato. Rimane un’equazione di primo grado che rappresenta l’equazione implicita della retta tangente alla circonferenza. Abbiamo visto nel caso della parabola che se il punto P è esterno ad essa, le formule di sdoppiamento consentono comunque di calcolare l’equazione della retta.

Essa interseca la circonferenza in due punti per i quali passano le rette tangenti alla circonferenza e passanti anche per P. Non si consiglia però l’utilizzo delle formule di sdoppiamento nel caso in cui il punto sia esterno alla circonferenza. L’approccio migliore rimane quello della distanza del centro della circonferenza dal fascio visto nel precedente paragrafo.

Metodo IV con calcolo coefficiente angolare retta passante per C e P

Questo metodo può essere utilizzato solo nel caso in cui il punto P appartiene alla circonferenza. Esso consiste nel ricavare il coefficiente angolare della retta passante per i punti C e P, di calcolarne l’antireciproco ed applicarlo nell’equazione del fascio di rette passante per P. Ricordiamo infatti che il raggio è sempre perpendicolare alla retta tangente in qualsiasi punto P della circonferenza. Dunque, dati C e P rispettivamente con coordinate:

C(x_{C},y_{C}) \\\,\\P(x_{P},y_{P})

il coefficiente angolare della retta passante per C e P sarà:

m_{CP}= \frac{y_{C}-y_{P}}{x_{C}-x_{P}}

il suo antireciproco sarà:

m'=-\frac{1}{m_{CP}} = -\frac{x_{C}-x_{P}}{y_{C}-y_{P}}

sostituendo quest’ultimo valore nell’equazione del fascio di rette proprio con centro in P, avremo l’equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto P:

y-y_{P} = m'(x-x_{P})

Questo metodo non può essere usato se il punto P è esterno alla circonferenza!

Conclusione

Abbiamo visto nei paragrafi precedenti 4 metodi che consentono di ricavare la retta tangente alla circonferenza e passante per un punto dato. Possiamo trarre alcune conclusioni:

Intersecare l’equazione del fascio di rette proprio avente centro in P con l’equazione della circonferenza non è conveniente in termini di difficoltà algebrica
Il metodo che utilizza la distanza del centro dal fascio è sempre conveniente
Il metodo delle formule di sdoppiamento è il più conveniente se P appartiene alla circonferenza. In caso contrario è sconsigliato
Il quarto metodo mostrato è invece utilizzabile solo se P appartiene alla circonferenza. In caso fosse utilizzato con P esterno alla circonferenza giungeremmo a considerazioni errate.

Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare la retta tangente alla circonferenza di equazione x²+y²+2x-2y-8=0 nel suo punto P(2,2)

Abbiamo a che fare con un caso in cui il punto appartiene alla circonferenza per cui ci aspettiamo un’unica retta tangente alla circonferenza. Possiamo utilizzare tutti e 4 i metodi mostrati nei paragrafi precedenti. Andremo secondo un ordine crescente di difficoltà, quindi dal più facile al più difficile.

Metodo III: utilizzo delle formule di sdoppiamento

Il metodo più semplice per questo tipo di esercizio è quello delle formule di sdoppiamento. Applichiamole all’equazione della circonferenza data:

x^{2} +y^{2}+2x-2y-8=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ xx_{P}+yy_{P}+2\left(\frac{x+x_{P}}{2}\right)-2\left(\frac{y+y_{P}}{2}\right)-8=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 2x+2y+2\left(\frac{x+2}{2}\right)-2\left(\frac{y+2}{2}\right)-8=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 2x+2y+x+2-y-2-8=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 3x+y-8=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{y=-3x+8}

y=-3x+8 è la retta tangente alla circonferenza nel punto P(2,2)

Metodo II della distanza del centro della circonferenza dal fascio

Il secondo metodo utilizza impone la distanza del centro della circonferenza dal fascio di rette proprio con centro in P uguale al raggio della circonferenza. Calcoliamo centro e raggio della circonferenza:

C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C\left(-\frac{2}{2},-\frac{-2}{2}\right) \Rightarrow C(-1,1) \\\,\\ r = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{4+4+32} =\frac{1}{2}\sqrt{40} = \sqrt{10}

adesso calcoliamo l’equazione del fascio di rette proprio avente centro in P(2,2):

y-y_{P}=m(x-x_{P}) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\y-2=m(x-2)\\\,\\\Rightarrow \\\,\\ y=m(x-2)+2

Adesso imponiamo la distanza del centro C dal fascio uguale al raggio:

\frac{\left|y_{C}-m(x_{C}-2)-2\right|}{\sqrt{m^{2}+1}} = r \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{\left|1-m(-1-2)-2\right|}{\sqrt{m^{2}+1}} = \sqrt{10} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{\left|3m-1\right|}{\sqrt{m^{2}+1}} = \sqrt{10}

a questo punto moltiplichiamo entrambi i membri per la radice di m² +1 (termine sicuramente positivo) ed eleviamo entrambi i membri al quadrato:

9m^{2}+1-6m = 10m^{2}+10 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ -m^{2}-6m-9=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ m^{2}+6m+9=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\(m+3)^{2}=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ m=-3

sostituiamo il valore di m ottenuto all’equazione del fascio di rette:

y=m(x-2)+2 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ y=-3x+6+2 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ y=-3x+8

Metodo IV con calcolo del coefficiente angolare

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante Per il centro C(-1,1) e per il punto P(2,2). Abbiamo calcolato le coordinate del centro con il metodo precedente:

m=\frac{y_{C}-y_{P}}{x_{C}-x_{P}} = \frac{1-2}{-1-2} = \frac{1}{3}

calcoliamo l’antireciproco d tale coefficiente per ottenere il coefficiente angolare delle rette perpendicolari al raggio CP:

m'=-\frac{1}{m} = -3

sostituiamo adesso il coefficiente angolare ottenuto all’equazione del fascio di rette:

y=-3(x-2)+2 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ y=-3x+8

Metodo I del fascio proprio di rette

Adesso applichiamo il metodo più ostico e quindi sconsigliato in questo tipo di esercizi. Risolviamo il sistema di equazioni della circonferenza e del fascio di rette:

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+2x-2y-8=0\\\,\\ y=m(x-2)+2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\ \end{matrix}\right.

sostituiamo il valore della y della seconda equazione nella prima:

x^{2}+y^{2}+2x-2y-8=0\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+[m(x-2)+2]^{2}+2x-2[m(x-2)+2]-8=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+m^{2}(x-2)^{2}+4+4m(x-2)+2x-2m(x-2)-4-8=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+4m^{2}-4m^{2}x+4mx-8m+2x-2mx+4m-8 = 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ (1+m^{2})x^{2}+(2+2m-4m^{2})x-8-4m+4m^{2}=0

Abbiamo dunque ottenuto un’equazione di secondo grado. Imponiamo il delta dell’equazione uguale a zero in quanto siamo interessati ai valori dei coefficienti angolari per i quali il fascio di rette restituisce rette tangenti alla circonferenza:

\frac{\Delta}{4} = (1+m-2m^{2})^{2}-(1+m^{2})(-8-4m+4m^{2})=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 1+m^{2}+4m^{4}-4m^{2}-4m^{3}+2m+8+4m-4m^{2}+8m^{2}+4m^{3}-4m^{4}=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ m^{2}+6m+9=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\(m+3)^{2}=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\m=-3

Abbiamo ottenuto ancora il valore del coefficiente angolare uguale a -3. Sostituendolo nell’equazione del fascio otterremo la retta tangente alla circonferenza e passante per P come avvenuto per gli altri metodi.

Esempio 2

Calcolare l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza x²+y²-2x-2y-2=0 e passanti per il punto P(4,5)

Poiché abbiamo a che fare con il caso in cui il punto P è esterno alla circonferenza, siamo limitati ad utilizzare solo due dei metodi visti in questo appunto: il metodo della distanza del centro dal fascio ed il metodo di intersezione della circonferenza con il fascio di rette proprio avente centro in P. Come fatto nel precedente esercizio mostreremo entrambi i metodi per ordine di difficoltà.

Metodo II: distanza del centro della circonferenza dal fascio di rette

Calcoliamo il centro della circonferenza:

C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C(1,1)

calcoliamo anche il raggio della circonferenza:

r = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{4+4+8} =\frac{4}{2}=2

Il fascio di rette proprio con centro in P ha dunque equazione:

y-5 = m(x-4) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\y=m(x-4)+5

e adesso imponiamo la distanza del centro C della circonferenza con il fascio di rette:

\frac{\left| y_{C}-m(x_{C}-4)-5\right|}{\sqrt{m^{2}+1}} = r \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{\left| 1-m(1-4)-5\right|}{\sqrt{m^{2}+1}} = 2 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{\left| 3m-4\right|}{\sqrt{m^{2}+1}} = 2

moltiplichiamo entrambi i membri per la radice di m quadro più uno e eleviamo entrambi i membri al quadrato:

9m^{2}+16-24m = 4m^{2}+4 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ 5m^{2}-24m+12=0

per cui:

m_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac}}{a} = \frac{12\pm\sqrt{144-60}}{5} =\frac{12\pm2\sqrt{21}}{5}

le due rette tangenti sono:

1) y= \frac{12+2\sqrt{21}}{5} \left(x-4\right) + 5 = \left(\frac{12+2\sqrt{21}}{5}\right) x -\frac{-23-8\sqrt{21}}{5} \\\,\\\\\,\\ 2) y= \frac{12-2\sqrt{21}}{5} \left(x-4\right) + 5 = \left(\frac{12-2\sqrt{21}}{5}\right) x -\frac{-23+8\sqrt{21}}{5} \\\,\\\\\,\\

Metodo I: del fascio di rette proprio

Risolviamo l’esercizio mettendo a sistema l’equazione della circonferenza con l’equazione del fascio di rette:

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2x-2y-2=0\\ \,\\ y=mx-4m+5 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{matrix}\right.

sostituiamo il valore della y della seconda equazione nella prima:

x^{2}+(mx-4m+5)^{2}-2x-2(mx-4m+5)-2=0 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}+25-2x-2mx+8m-10-2=0 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ (1+m^{2})x^{2}+(-8m^{2}+10m-2m-2)x+16m^{2}+25-40m+8m-12=0\\\,\\\Rightarrow\\\,\\ (1+m^{2})x^{2}+(-8m^{2}+8m-2)x+16m^{2}-32m+13=0

Abbiamo dunque un’equazione di secondo grado come equazione risolvente del sistema. Poniamo il valore del delta uguale a zero per individuare i valori del coefficiente angolare m per i quali dal fascio si ottengono rette tangenti alla circonferenza:

\frac{\Delta}{4} = b^{2}-ac = (-4m^{2}+4m-1)^{2}-(1+m^{2})(16m^{2} - 32m+13)=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\16m^{4}+16m^{2}+1-32m^{3}+8m^{2}-8m-16m^{2}+32m-13-16m^{4}+\\\,\\+32m^{3}-13m^{2}=0

semplificando otteniamo:

5m^{2}-24m+12=0

per cui:

m_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac}}{a} = \frac{12\pm\sqrt{144-60}}{5} =\frac{12\pm2\sqrt{21}}{5}

le due rette tangenti sono:

1) y= \frac{12+2\sqrt{21}}{5} \left(x-4\right) + 5 = \left(\frac{12+2\sqrt{21}}{5}\right) x -\frac{-23-8\sqrt{21}}{5} \\\,\\\\\,\\ 2) y= \frac{12-2\sqrt{21}}{5} \left(x-4\right) + 5 = \left(\frac{12-2\sqrt{21}}{5}\right) x -\frac{-23+8\sqrt{21}}{5} \\\,\\\\\,\\

Calcolare l’equazione della retta tangente ad una circonferenza e passante per un punto

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