In questo appunto vediamo in che modo calcolare la lunghezza di un arco di circonferenza nei problemi di geometria analitica. In questo appunto vedremo in particolare:

Breve accenno su arco di circonferenza e formula della lunghezza

Abbiamo già trattato l’arco di una circonferenza nella sezione relativa alla geometria piana mostrando le formule principali dirette ed inverse legate all’arco di una circonferenza. Ti rimandiamo dunque a tale appunto se hai bisogno di prendere confidenza con il concetto di arco di circonferenza e capire come questo sia legato ad esempio ai concetti di settore circolare e corda.

Ricordiamo che un arco di una circonferenza è una porzione della circonferenza stessa delimitata da due punti appartenenti a quest’ultima. Presi due punti qualsiasi della circonferenza essi dividono la circonferenza in due archi l’uno maggiore o uguale dell’altro in lunghezza.

lunghezza di un arco

Poiché dati due punti della circonferenza è sempre possibile anche individuare una corda, l’arco si dice sotteso dalla rispettiva corda. Nella figura vediamo che ad una corda sono infatti associati due archi (uno rosso e l’altro blu) entrambi delimitati dai punti A e B. Se la corda è un diametro, e quindi i due punti sono diametralmente opposti, allora i due archi ottenuti sono uguali e sono detti semicirconferenze in quanto sono esattamente la metà di una circonferenza. Gli angoli al centro sono invece specifici. Nel corso di questo appunto indicheremo l’angolo al centro specifico per l’arco con θ. L’angolo al centro che insiste sul secondo arco, sarà invece genericamente rappresentato come 2π – θ.

Le due porzioni di cerchio delimitate dai punti ABC sono invece dette settori circolari. Tali settori sono costituiti dalla stessa coppia di raggi ma dai due archi sottesi dalla stessa corda AB. La lunghezza di un arco circolare è dunque data da:

 

l_{arco} = \theta r
Arco di circonferenza nei problemi di geometria analitica

Fin qui abbiamo visto alcune informazioni generali dell’arco di circonferenza che derivano dalle conoscenze di geometria piana. Ma in che modo la lunghezza di un arco di circonferenza può essere oggetto di un problema di geometria analitica? Il caso più semplice è quello in cui viene considerata l’intersezione di una retta con una circonferenza. Se la retta interseca la circonferenza in due punti allora potrebbe essere richiesto tra le altre cose il calcolo della lunghezza dell’arco corrispondente:

Il problema richiede in generale di eseguire i seguenti passi:

Il primo step richiede invece di calcolare il raggio della circonferenza considerando la seguente formula:

r = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}

Il secondo step consiste nel determinare le coordinate dei punti A e B di intersezione tra la retta e la circonferenza. Ciò richiede di risolvere il seguente sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
y=mx+q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\  \,\\
x^{2}+y^{2}+ax+by +c=0
\end{matrix}\right.

abbiamo già visto alcuni esempi di calcolo dell’intersezione di una retta con una circonferenza al seguente link. Le coordinate dei punti A e B sono necessarie per calcolare la lunghezza della corda AB. Ricordiamo dunque la formula della distanza tra due punti:

\overline{AB} = \sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}

Adesso non serve altro che determinare l’angolo al centro θ che insiste sull’arco. Per farlo ci avvaliamo proprio della lunghezza della corda. Considerando infatti l’asse della corda AB:

si può allora facilmente dimostrare considerando i teoremi dei triangoli rettangoli che la lunghezza della corda AB è data da:

\overline{AB} = 2r sin \left( \frac{\theta}{2} \right)

da cui possiamo ricavare l’angolo, che rappresenteremo in radianti, mediante la funzione arcoseno:

\theta= 2 arcsin{\frac{\overline{AB}}{2r}}

Nota: ricordiamo che la funzione arcoseno deve essere considerata definita nell’intervallo [-π/2, +π/2] per cui restituirà nel caso del problema geometrico sempre e comunque un angolo compreso tra 0 e π/2. Si tratta dunque sempre della metà dell’angolo al centro più piccolo. Infatti sappiamo bene che per ciascun valore della funzione seno esistono due angoli nella circonferenza goniometrica che forniscono quello specifico valore del seno. Si può infatti dimostrare che, dato un angolo θ/2, la relazione:

sin \left( \frac{\theta}{2}\right) = sin \left(\pi - \frac{\theta}{2}\right)

da cui:

sin \left( \theta\right) = sin \left(2 \pi - \theta\right)

Ma 2π – θ non è altro che l’angolo al centro esplementare a θ e che insiste sulla stessa corda AB.

Adesso, noto il valore dell’angolo θ possiamo calcolare la lunghezza dell’arco proprio con la formula:

 

l_{arco} = \theta r
Esempio di esercizio

Calcolare la lunghezza degli archi che si vengono a formare dall’incontro della circonferenza x2+y2-4x-4y+4=0 e la retta y=x/2+2. Considera l’unità di misura del piano cartesiano essere il cm.

Calcoliamo innanzitutto il raggio della circonferenza:

r=\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2} \sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}-4(4)}  = \frac{1}{2} \sqrt{16} = 2cm

Adesso calcoliamo le coordinate dei punti di intersezione della retta con la circonferenza:

\left\{\begin{matrix}
y= \frac{x}{2}+2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\
x^{2} +y^{2}-4x-4y+4=0
\end{matrix}\right.

andiamo a sostituire il valore della variabile y della prima equazione nella seconda:

x^{2} + \left(\frac{x}{2} + 2 \right) ^{2} -4x-4 \left(\frac{x}{2} + 2 \right) +4 = 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2} + \frac{x^{2}}{4}+2x+4-4x-2x-8+4=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \frac{5x^{2}}{4} -4x = 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 5x^{2} -16x = 0

Abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado spuria che ha due soluzioni:

x_{A} = 0 \\\,\\ x_{B} = \frac{16}{5}

Sostituiamo i valori delle ascisse all’equazione della retta:

y_{A} = \frac{x_{A}}{2} + 2 = 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\y_{B} = \frac{x_{B}}{2} + 2 = \frac{16}{10} + 2 = \frac{36}{10} =\frac{18}{5}

Calcoliamo adesso la lunghezza della corda AB:

\overline{AB} = \sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}} = \sqrt{\left(0-\frac{16}{5}\right)^{2}+\left(2-\frac{18}{5}\right)^{2}}= \sqrt{\frac{256}{25}+\frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{320}{25}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}

adesso calcoliamo l’angolo θ attraverso la formula vista in precedenza:

\theta= 2 arcsin{\frac{\overline{AB}}{2r}} = 2arcsin{\frac{8\sqrt{5}}{20}} \approx 2,21

l’angolo al centro è dunque approssimativamente 2,41 radianti. Possiamo quindi calcolare la lunghezza del primo arco:

l_{arco1} = \theta r =2,21*2 =4,42 cm

Il secondo arco sarà invece:

l_{arco2} = (2 \pi - \theta) r = (6,28-2,21)*2= 8,14cm
Calcolare la lunghezza di un arco e di una corda nei problemi di geometria analitica
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