Calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano

In questo appunto vediamo in che modo è possibile calcolare la distanza di due punti in un piano cartesiano ed estenderemo la formula al caso di uno spazio a più dimensioni.

In particolare vedremo:

• Dimostrazione della formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano
• Casi particolari
• Estensione al caso di uno spazio a più dimensioni
• Esempi

Dimostrazione della formula della distanza tra due punti

Immaginiamo di avere due punti di coordinata A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B) e di voler conoscere la distanza d tra questi due punti:

Per distanza intendiamo la lunghezza del segmento AB che congiunge i due punti. Costruiamo adesso il triangolo rettangolo ABC eseguendo proiezioni dei punti A e B parallele agli assi. Il punto C avrà dunque la stessa ascissa di B e la stessa ordinata di A. Quindi C(x_B,y_A):

Adesso il segmento AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC. Per cui applicando il teorema di Pitagora sappiamo che:

e che

dove nell’operazione di estrazione della radice quadrata, non consideriamo il valore negativo in quanto la lunghezza di un segmento non può avere segno meno. Ma quanto sono lunghi i segmenti AC e AB? Il segmento AC è parallelo all’asse delle x. Poiché i due punti A e C hanno stessa ordinata, la lunghezza del segmento è data dalla differenza delle ascisse:

poiché utilizziamo il modulo, avremmo potuto scrivere all’interno x_A – x_B ottenendo lo stesso risultato. Eseguendo un ragionamento simile per BC otteniamo:

Allora il segmento AB diventa:

Questa è la formula generale della distanza tra due punti in un piano cartesiano. Questa formula è molto importante perché sarà alla base di diverse applicazioni/esercizi. Essa, ad esempio, è al centro dello sviluppo dell’equazione della circonferenza. La circonferenza è infatti, il luogo dei punti equidistanti da un altro punto detto centro. Si noti che non è importante l’ordine con il quale si dispongono rispettivamente le ascisse e le ordinate dei punti all’interno della formula. Lo abbiamo già detto quando abbiamo assegnato la funzione modulo al calcolo della lunghezza di AC. Cambiando l’ordine, il risultato non cambia!

Casi particolari

Ci sono due casi particolari in cui la formula mostrata sopra si semplifica di molto. Il primo è il caso di due punti allineati. Lo abbiamo visto nella dimostrazione sopra per i segmenti AC e BC. Due punti allineati sono due punti che presentano o lo stesso valore di ascissa o lo stesso valore di ordinata. Ne sono un esempio i punti D(1,2) e E( 3,2). I due punti hanno la stessa ordinata. Come potrete immaginare la differenza y_D -y_E sarà pari a zero. Quindi ricapitolando:

Due punti A e B allineati con stessa ordinata avranno una distanza pari a:

Due punti A e B allineati con la stessa ascissa avranno una distanza pari a:

Il secondo caso che mostreremo qui è quello relativo alla distanza di un punto A dall’origine degli assi O(0,0). Anche in questo caso la formula si semplifica:

Distanza di due punti in uno spazio a n dimensioni

Il piano cartesiano è un sistema di riferimento a due dimensioni. In realtà ci sono altri sistemi di riferimento caratterizzati da n dimensioni e dove un punto sarà definito da n coordinate. Ad esempio, in un sistema di riferimento a tre dimensioni un punto sarà definito da 3 coordinate x,y,z.

La formula della distanza tra due punti A e B in un generico sistema a n dimensioni diventa:

dove per a_i e b_i si intendono due coordinate corrispondenti dei punti A e B.

Esempi

• Calcola la distanza tra i punti A(3,3) e B(-3,2):

• Calcola la distanza tra i punti A(1,1) e B (4,5)