Calcolare l’equazione dell’asse di un segmento

In questo appunto vediamo in che modo è possibile calcolare l’equazione dell’asse di un segmento in un piano cartesiano. In particolare vedremo:

• Definizione dell’asse di un segmento
• Come calcolare l’equazione dell’asse
• Casi particolari
• Esempi

Definizione dell’asse di un segmento

In questo paragrafo diamo una ripassata al concetto di asse di un segmento. L’asse di un segmento AB in geometria euclidea è definita come la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio M. L’asse di un segmento può anche essere definito come il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti dai due estremi del segmento A e B. Ne conviene dunque che l’asse del segmento è un asse di simmetria per il segmento stesso.

Quando abbiamo a che fare con dei poligoni, per ogni lato del poligono possiamo disegnare il rispettivo asse. Ricordiamo che:

• Nel caso di un triangolo qualsiasi, gli assi dei tre lati si incontrano in un punto detto circocentro. Tale punto è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo e può situarsi sia internamente che esternamente al triangolo. Il triangolo di conseguenza risulterà inscritto alla circonferenza.
• Nel caso di poligoni regolari, gli assi del segmento si incontrano in un punto interno al poligono che è contemporaneamente il centro della circonferenza inscritta e circoscritta al poligono.

Queste informazioni sono fondamentali quando si devono risolvere esercizi di geometria analitica in cui sono coinvolti poligoni e gli assi dei rispettivi lati. Nel prossimo paragrafo vediamo in che modo è possibile calcolare l’equazione dell’asse di un segmento.

Come calcolare l’equazione dell’asse 

Essendo l’asse del segmento una retta del piano cartesiano, la sua equazione generica sarà pari a quella di una retta. In forma esplicita potremmo dire che l’equazione dell’asse di un segmento è del tipo:

y=mx+q

Ma come possiamo calcolarla? Partiamo dal segmento AB. Il suo asse ha due caratteristiche importanti che ci consentiranno di calcolare la sua equazione:

1. L’asse passa per il suo punto medio
2. Il coefficiente angolare dell’asse sarà l’anti reciproco di quello della retta passante per i punti AB. Possiamo quindi dire che:

dove:

abbiamo già visto in che modo è possibile calcolare l’equazione di una retta passante per un punto e noto il coefficiente angolare. L’equazione generica da applicare, considerando le coordinate del punto medio è:

dove x_M e y_M sono le coordinate del punto medio del segmento AB date da:

sostituendo ad m la relazione individuata precedentemente con il coefficiente angolare m_AB, otteniamo:

Ne consegue che per calcolare l’equazione dell’asse di un segmento occorre:

1. Calcolare le coordinate del punto medio del segmento
2. Calcolare l’anti reciproco del coefficiente angolare della retta passante per il punti estremi del segmento

In alternativa, conosciuti A e B si potrebbe applicare direttamente la formula:

Con maggiori possibilità di eseguire degli errori nei calcoli e di non ricordare la formula. Suggeriamo il metodo step by step

Casi particolari

Nei casi particolari menzioniamo quelli in cui non è necessario utilizzare la formula per calcolare l’asse di un segmento. Si tratta dei casi in cui l’asse è parallelo o all’asse delle ascisse oppure all’asse delle ordinate.

Caso 1: segmento parallelo all’asse delle x.

Si tratta del caso in cui A e B avranno la stessa ordinata y. In questo caso basterà calcolare l’ascissa del punto medio e l’equazione dell’asse del segmento sarà x=x_M

Caso 2: segmento parallelo all’asse delle y.

Si tratta del caso in cui A e B avranno la stessa ascissa x. In questo caso basterà calcolare l’ordinata del punto medio e l’equazione dell’asse del segmento sarà y=y_M

Esempi

Esempio 1

Calcolare l’asse del segmento AB con A(1,3) e B (3,5)

Calcoliamo le coordinate del punto medio

Calcoliamo il valore del coefficiente angolare m_AB

Applichiamo quindi la formula dell’equazione dell’asse di un segmento:

L’equazione dell’asse del segmento AB è y=x+2. continuare l’esercizio disegnando il segmento AB e l’asse appena trovato

Esempio 2

Calcolare l’asse del segmento AB con A(2,3) e B( 4,3)

I due punto A e B hanno la stessa ordinata y=3. Significa che il segmento è parallelo all’asse delle x. Il punto medio del segmento AB avrà ascissa x_M = (2+4)/2 = 3. Ne consegue, per quanto visto precedentemente che x=3 è l’asse del segmento AB

Esempio 3

Calcolare l’asse del segmento AB con A(2,2) e B(2,6)

I punti A e B hanno stessa ascissa x=2 e quindi il segmento è parallelo all’asse delle y. L’ordinata del punto medio y_M = (2+6)/2 = 4. Allora y=4 è l’asse del segmento AB.