Calcolare il punto di intersezione di due rette nel piano cartesiano

In questo appunto vediamo in che modo è possibile individuare il punto di intersezione di due rette in un piano cartesiano. In particolare vedremo:

• Posizione relativa di due rette nel piano cartesiano
• Utilizzo di un sistema di equazioni per individuare il punto di intersezione di due rette
• Esempi

Posizione relativa di due rette nel piano cartesiano

Due rette in un piano cartesiano possono avere tre diverse posizioni relative l’una rispetto all’altra. In particolare esse possono essere:

• parallele tra di loro
• incidenti
• coincidenti

Due rette parallele sono due rette che mantengono la stessa distanza reciproca per tutti i punti che ne fanno parte. Le due rette non hanno alcun punto in comune. Abbiamo ampiamente discusso delle caratteristiche delle rette parallele e come riconoscerle mediante la condizione di parallelismo dei coefficienti angolari. Per saperne di più usa il seguente link.

Abbiamo invece a che fare con due rette incidenti tra di loro quando queste hanno un punto ed un solo punto in comune. Due rette, infine, si dicono coincidenti se hanno tutti i punti in comune. Esse sono identificate con la stessa equazione. Esse possono essere considerate due rette parallele aventi distanza reciproca nulla.

Vediamo nel prossimo paragrafo qual è lo strumento matematico da utilizzare per calcolare il punto di intersezione di due rette all’interno del piano cartesiano

Utilizzo di un sistema di equazioni per individuare il punto di intersezione di due rette

Per conoscere qual è il punto di intersezione di due rette nel piano cartesiano, si utilizza un sistema di equazioni. Sappiamo che l’equazione della retta è lo strumento con il quale identifichiamo tutti i punti del piano cartesiano che appartengono a tale retta. Nel momento in cui si legano due equazioni mediante un sistema di equazioni, si cerca di rispondere alla domanda: quali punti del piano cartesiano sono identificati contemporaneamente da entrambe le rette? In altre parole, quali punti hanno in comune le due rette?

Per cui, date le equazioni di due rette:

1. r: ax+by+c=0  -> l’equazione identifica tutti I punti del piano cartesiano appartenenti alla retta r
2. s: a’x+b’y+c=0 -> l’equazione identifica tutti I punti del piano cartesiano appartenenti alla retta s

il sistema di equazioni:

Identifica i punti del piano cartesiano appartenenti ad entrambe le rette.

In questo paragrafo, non illustreremo tutti i metodi utilizzabili per risolvere un sistema di equazioni. Negli esempi che seguono ne utilizzeremo qualcuno (es. metodo di sostituzione e confronto). Nel risolvere tale sistema di equazioni possiamo avere tre possibili risultati:

• Il sistema ha una sola soluzione per x e y. Ciò significa che le rette hanno un solo punto in comune e queste sono incidenti
• Non esistono soluzioni. Ciò accade quando abbiamo a che fare con due rette parallele. Ricordiamo che dovremmo riconoscere questa situazione osservando i coefficienti angolari
• Esistono infinite soluzioni. Le due rette sono coincidenti. Hanno la stessa equazione

Esempi

Vediamo di seguito alcuni esempi di calcolo del punto di intersezione tra due rette.

Esempio 1

Calcolare il punto di intersezione delle seguenti rette: 3x +2y-3=0 e 2x+y-2=0.

Mettiamo a sistema le due equazioni:

in questo caso risolviamo il sistema di equazioni mediante il metodo di sostituzione. La seconda equazione, infatti, può essere espressa in forma esplicita: y=-2x+2. Possiamo sostituire questo valore alla seconda equazione:

Otteniamo come risultato il valore x=1. Sostituiamo tale valore alla seconda equazione. Otterremo:

Il punto di intersezione A(1,0) è il punto di intersezione delle due rette. Completare l’esercizio, disegnando le due rette e verificando graficamente il punto di intersezione calcolato.

Esempio 2

Calcolare il punto di intersezione delle seguenti rette: 4x-2y+5 =0 e 2x+3y-2=0.

Mettiamo a sistema le due equazioni:

proviamo a risolvere il sistema di equazioni col metodo di riduzione, moltiplicando entrambi i membri della seconda equazione per un fattore 2:

e poi sottraiamo la prima equazione alla seconda:

ricaviamo dall’equazione ottenuta il valore di y:

y= 9/8

e sostituiamo tale valore ad una delle due equazioni:

Il punto di intersezione A(-11/16,9/8) è il punto di intersezione delle due rette. Completare l’esercizio, disegnando le due rette e verificando graficamente il punto di intersezione calcolato.

Esempio 3

Calcolare il punto di intersezione delle seguenti rette: y=3x+2 e y=3x-2

Le due rette proposte sono parallele in quanto hanno lo stesso coefficiente angolare. Quindi non hanno alcun punto di intersezione e il sistema non ha soluzioni. Vediamo cosa succederebbe nel tentativo di risolverlo utilizzando il metodo di riduzione:

si ottiene 0=4! questa non è un’equivalenza valida. Per cui concludiamo che il sistema non ha soluzione e le due rette non hanno punti in comune. Completare l’esercizio, disegnando le due rette e verificando graficamente il loro parallelismo.

Esempio 4

Calcolare il punto di intersezione delle seguenti rette: 4x+2y-6 = 0 e 2x+y-3=0.

Le due rette sono coincidenti. Lo notiamo dal fatto che possiamo ottenere la seconda equazione dividendo entrambi i membri della prima per due. Non riportiamo la soluzione del sistema. Quello che si otterrà alla fine è un’uguaglianza del tipo

0=0

che è sempre valida per qualsiasi punto appartenente all’una, e quindi all’altra, retta.