In questo appunto vediamo in cosa consiste il baricentro di un triangolo, le sue proprietà geometriche e le sue implicazioni in geometria analitica. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è necessario avere familiarità con le proprietà dei triangoli e con il concetto di mediana che qui riprenderemo. In particolare in questo appunto vedremo:
- Mediana di un triangolo
- Teorema del baricentro di un triangolo
- Dimostrazione del teorema
- Calcolo della posizione del baricentro di tre punti in geometria analitica
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Mediana di un triangolo
Prima di procedere con il teorema del baricentro di un triangolo, è necessario avere familiarità con il concetto di mediana e con le sue proprietà. In un generico triangolo si definisce mediana il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto a tale vertice:
Per definizione quindi la mediana divide il lato relativo in due parti uguali. Considerando il triangolo in figura sopra, abbiamo dunque che:
\overline{BD}=\overline{CD}= \frac{1}{2}\overline{BC}
questa proprietà della mediana ha una importante conseguenza. Se consideriamo il triangolo ABC, la mediana divide tale triangolo in due triangoli ACD a ABD aventi area pari a metà del triangolo iniziale. Abbiamo infatti che:
A_{ABC}=A_{ACD}+A_{ABD}
Se consideriamo BC e AH rispettivamente base e altezza del triangolo ABC, possiamo scrivere:
A_{ABC}= \frac{1}{2}\overline{BC}\,\overline{AH}
AH risulta altezza anche dei due triangoli ACD e ABD rispetto alle due basi BD e CD. Possiamo dunque scrivere:
A_{ABD}= \frac{1}{2}\overline{BD}\,\overline{AH} \\\,\\A_{ACD}= \frac{1}{2}\overline{CD}\,\overline{AH}
ma essendo BD uguale a CD per definizione, allora risulta che:
A_{ABD}= A_{ACD} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ A_{ABC}= 2A_{ABD}=2A_{ACD}
Abbiamo dunque dimostrato che:
la mediana di un triangolo lo divide in due triangoli equivalenti e aventi dunque area pari a metà del triangolo iniziale
Altre proprietà di una medina a in un triangolo sono legate al concetto di baricentro che vedremo nel prossimo paragrafo.
Teorema del baricentro di un triangolo
Il teorema del baricentro di un triangolo afferma che:
Le tre mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, interno al triangolo, detto baricentro. Ciascuna mediana resta divisa dal baricentro in due parti di cui quella che contiene il vertice del triangolo è il doppio dell’altra
Il teorema è generico ed è dunque valido per qualsiasi triangolo. La prima parte ci dice che le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto
il che non è una cosa affatto scontata. Avremmo potuto pensare che le mediane potessero incontrarsi a due a due e non avere alcun punto in comune. Invece in tutti i triangoli, le mediane si incontrano nello stesso punto.
La seconda parte del teorema ci dice che, data una mediana, ad esempio AD, il baricentro la divide in parti tali che:
\overline{AO} = 2\overline{OD} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \overline{AO}=\frac{2}{3}\overline{AD};\,\,\,\,\,\,\, \overline{OD}=\frac{1}{3}\overline{AD}
Dunque la parte contenente il vertice è il doppio dell’altra. Ne risulta che per poter essere la somma delle due parti pari alla lunghezza della mediana, la parte non contenente il vertice deve essere pari ad un terzo della lunghezza totale della mediana.
Nel prossimo paragrafo vediamo come dimostrare il teorema del baricentro.
Dimostrazione del teorema del baricentro
Dimostriamo adesso il teorema del baricentro. La dimostrazione procederà nel seguente modo. Dimostriamo innanzitutto che il punto di incontro di due mediane di un triangolo divide le due mediane secondo la proporzione enunciata dal teorema. Ovvero la parte contenente il vertice è il doppio della seconda. In seguito dimostreremo che le tre mediane si incontrano in uno stesso punto.
Prima parte: il punto di incontro di due mediane le divide secondo la proporzione enunciata dal teorema
Consideriamo il triangolo ABC dell’immagine del paragrafo precedente e disegniamo le mediane BF e CE. Queste due mediane si incontrano in un punto che indicheremo con la lettera O. A questo punto congiungiamo il punto F con il punto E:
il segmento FE è parallelo al lato BC del triangolo per la proprietà della congiungente di due punti medi di un triangolo. Per la stessa proprietà ne risulta anche che:
\overline{FE}=\frac{1}{2}\overline{BC}
Adesso consideriamo il triangolo COB e congiungiamo i punti medi dei lati OB e OC:
Ancora per la proprietà della congiungente di due punti medi di un triangolo, risulta che GL è parallelo a BC e che:
\overline{GL}=\frac{1}{2}\overline{BC}
inoltre poiché G è il punto medio di OC e L il punto medio di OB, ne risultano le seguenti uguaglianze:
\overline{CG}=\overline{GO} \\\,\\ \overline{BL}=\overline{LO}
Adesso, EF e GL sono entrambi paralleli a BC ed entrambi pari a metà di BC. Ne risulta che EF e GL sono paralleli e congruenti tra loro. Congiungiamo i loro estremi e otterremo il parallelogramma EFGL:
Adesso, poiché in un parallelogramma le diagonali si dividono a metà ne risulta che FO è uguale ad LO, il quale sua volta è uguale a BL per quanto prima vista. Allo stesso modo EO è uguale a GO, il quale è ancora uguale a CG. Dunque:
\overline{FO}= \overline{LO}=\overline{BL} \\\,\\ \overline{EO}= \overline{GO}=\overline{CG}
Conseguenza di queste due relazioni è che:
\overline{BO}=\overline{BL}+\overline{LO} = 2\overline{LO}= 2\overline{FO} \\\,\\\overline{CO}=\overline{CG}+\overline{GO} = 2\overline{GO}= 2\overline{EO}
Come volevasi, abbiamo dimostrato che la mediana BF è divisa dal punto di incontro con la mediana CE in due parti (BO e FO) tali che una (BO) sia doppio dell’altra (FO). Stessa cosa accade alla mediana CE
Seconda parte: le tre mediane si incontrano in un punto
Partendo dalla dimostrazione precedente dimostriamo che le tre mediane si incontrano in un punto. Agiamo per logica.
Nel paragrafo precedente abbiamo tracciato le mediane BF e CE. Adesso immaginiamo di tracciare la mediana AD:
- La mediana AD incontrerà la mediana BF in un punto che la divide in due parti tali che la parte contenente il vertice sia il doppio dell’altra. Questo accade per quanto dimostrato nel paragrafo precedente.
- La mediana AD incontrerà la mediana CE in un punto che la divide in due parti tali che la parte contenente il vertice sia il doppio dell’altra. Questo accade per quanto dimostrato nel paragrafo precedente.
Tuttavia esiste un unico punto che divide la mediana AD in modo tale che la parte contenente il vertice sia doppio dell’altra. Ne consegue che BF e CE incontrano AD nello stesso punto. Quindi, le tre mediane si incontrano in uno stesso punto.
Calcolo della posizione del baricentro di tre punti in geometria analitica
Vediamo adesso come è possibile calcolare il baricentro di una terna di punti in un piano cartesiano. Siano dati 3 punti:
A(x_{A};y_{A}) \\\,\\B(x_{B};y_{B})\\\,\\C(x_{C};y_{C})
è possibile individuare le coordinate del baricentro D di questi tre punti applicando le formule:
x_{D} = \frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\\\,\\ y_{D} = \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}
Dunque le coordinate di D sono:
D\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)
In uno spazio cartesiano in cui le coordinate necessarie sono 3 e non 2, ad x e y bisognerà aggiungere z:
D\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3};\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right)
Nel caso in cui si ha a che fare con più punti si parla di baricentro geometrico. Nota: Se nel triangolo il baricentro geometrico coincide con il punto di incontro delle mediane per come sopra definite, in poligoni con più vertici questo non è vero. Immaginiamo di avere n punti in un piano cartesiano, le coordinate del baricentro saranno allora date da:
D\left(\frac{x_{A}+x_{B}+...+x_{N}}{n}; \frac{y_{A}+y_{B}+...+y_{N}}{n}\right)
che possiamo anche scrivere nella forma:
D\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}; \frac{\sum_{i=1}^{n}y_{i}}{n}\right)
che in 3 dimensioni chiaramente diventa:
D\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}; \frac{\sum_{i=1}^{n}y_{i}}{n}; \frac{\sum_{i=1}^{n}z_{i}}{n}\right)
