Asse di simmetria di una parabola

In questo appunto vediamo cosa è l’asse di simmetria di una parabola ed in che modo è possibile calcolarne l’equazione. In particolare vedremo:

• Definizione dell’asse di una parabola
• Come calcolare l’asse di simmetria di una parabola
• Simmetria assiale
• Esempi

Definizione dell’asse di una parabola

L’asse di simmetria di una parabola è una retta che taglia la parabola dividendola in due parti uguali. Questo vuol dire che la parabola gode di una simmetria assiale. Vedremo nei prossimi paragrafi cosa questo comporta. Nel caso di parabole verticali e orizzontali, l’asse di simmetria è una retta parallela rispettivamente all’asse delle y o all’asse delle x. Vediamo nella seguente figura in che modo esso si relaziona rispetto agli altri elementi della parabola considerando il caso di una parabola verticale

In questo caso l’asse è una retta verticale che passa per il fuoco ed il vertice della parabola. Possiamo inoltre notare che ad ogni punto P corrisponde un punto P’ per simmetria. I due generici punti P e P’ avranno la stessa ordinata e l’asse della parabola diviene anche asse del segmento PP’. Nel caso di parabole orizzontali il discorso si inverte. I due punti P e P’ avranno la stessa ascissa.

Come calcolare l’asse di simmetria di una parabola

L’asse di simmetria di una parabola è una retta che taglia la parabola dividendola in due parti uguali. Essa passa per il vertice ed il fuoco della parabola. La parabola gode quindi di una simmetria assiale. L’equazione dell’asse di simmetria è molto facile da calcolare. Per parabola verticali, essa avrà un’equazione esplicita il cui l’unico termine è pari all’ascissa del vertice e all’ascissa del fuoco. Per parabole verticali, quindi l’asse di simmetria ha equazione:

La stessa formula vale nel caso di una parabola orizzontale, ma in questo caso l’equazione sarà rispetto alla variabile y :

coincidendo in questo caso con l’ordinata del fuoco e del vertice. Ricordiamo che a e b sono i primi due coefficienti dell’equazione di una parabola. La relazione riportata ci da una informazione importante. Se il coefficiente b dell’equazione di una parabola è pari a zero, allora l’asse della parabola coincide con l’asse y per parabole verticali e con l’asse delle x per parabole orizzontali.

Simmetria assiale

Abbiamo detto che la parabola gode di una simmetria assiale. Ricordiamo che la simmetria assiale è un tipo di simmetria rispetto ad un asse tale che:

• Ad ogni punto dell’asse corrisponde lo stesso punto
• Ad ogni punto P non appartenente ad esso è associato un punto P’ tale che l’asse diviene anche asse del segmento PP’.

La simmetria assiale è quindi una trasformazione geometrica della famiglia delle isometrie. Essa è detta invertente in quanto riflette l’immagine rispetto all’asse proprio come uno specchio. Vediamo che effetto ha l’asse rispetto a qualsiasi punto P della parabola.

Essendo l’asse di simmetria anche l’asse del segmento PP’ ne deriva che esso passa per il punto medio del segmento PP’. Perciò se abbiamo a che fare con parabole verticali, questo vuol dire che il punto medio avrà un’ascissa pari a -b/2a proprio come il fuoco ed il vertice della parabola. Adesso come saranno le coordinate dei due punto P e P’ nel caso di parabole verticali?

I due punti P e P’ avranno la stessa ordinata e le due ascisse saranno legate dalla relazione del punto medio di un segmento:

Ciò vuol dire che, conosciuta l’ascissa di un generico punto P della parabola, il suo corrispondente punto della parabola per simmetria avrà ascissa data dal doppio del valore del termine noto dell’equazione dell’asse meno l’ascissa del punto noto:

Si può dimostrare che le stesse relazioni valgono per parabole orizzontali sostituendo nel ragionamento le ascisse con le ordinate.

 

Dimostrazione

Dimostriamo adesso che dati due punti di una parabola con stessa ordinata, il loro punto medio appartiene all’asse di simmetria. Consideriamo la generica parabola:

e calcoliamo i valori delle ascisse dei due punti con ordinate y=k. Questo vuol dire risolvere la seguente equazione:

il che vuol dire che:

Risolviamo questa equazione di secondo grado calcolando i valori di x₁ e x₂:

Ammettiamo di essere nel caso in cui i due punti esistano nell’insieme dei numeri reali. In caso negativo non avremmo punti della parabola con ordinata k. Proviamo a calcolare l’ascissa del loro punto medio:

abbiamo quindi dimostrato che il punto medio del segmento PP’ appartiene all’asse si simmetria della parabola.

Esempi

Vediamo nel seguito alcuni esempi di esercizi.

Esempio 1

Calcolare l’asse di simmetria della parabola di equazione y=-x²+3

L’equazione della parabola mostra un coefficiente b=0. La parabola è di tipo verticale. Si deduce dunque che l’asse coincide con l’asse delle y.

Esempio 2

Calcolare l’asse di simmetria della parabola di equazione x=-y² -2y+3

Abbiamo a che fare con una parabola orizzontale. Applichiamo la formula per il calcolo dell’asse considerando che a=-1 e b=-2:

y=-1 è quindi l’equazione dell’asse della parabola.

Esempio 3

Calcolare l’asse di simmetria della parabola avente vertice V(3,-2) e fuoco F(3,3).

Fuoco e vertice della parabola sono caratterizzati dall’avere la medesima ascissa per cui sono disposti in verticale l’uno rispetto all’altro. Questo vuol dire che abbiamo a che fare con una parabola verticale. Poiché entrambi i punti appartengono all’asse di simmetria, possiamo dedurre che x=3 è l’equazione dell’asse di simmetria della parabola

Esempio 4

Una parabola ha asse di simmetria x=2. Un punto appartenente alla parabola ha coordinate P(3,3). Calcolare il punto P’ appartenente alla parabola simmetrico di P rispetto all’asse di simmetria della parabola.

Abbiamo a che fare con una parabola verticale. questa informazione ci dice subito che i due punti P e P’ avranno in comune l’ordinata y=3. Ricordiamo che l’asse di simmetria agisce come asse del segmento PP’ per cui per l’esso passa il punto medio del segmento. Vale dunque per le ascisse la relazione:

e che quindi:

Sappiamo che x_P = 3 e che x_M = 2. Ne segue che:

Il punto P'(1,3) è il punto della parabola simmetrico di P(3,3) rispetto all’asse x=2.