In questo appunto vediamo cosa sono gli asintoti di un’iperbole e come è possibile calcolarli. Ci soffermeremo sul caso dell’iperbole canonica, mentre faremo solo un accenno al caso dell’iperbole equilatera. Per comprendere al meglio i contenuti di questo appunto è consigliabile approfondire il concetto di definizione di un’iperbole e di equazione di un’iperbole. In questo appunto vediamo:
- Cosa sono gli asintoti di una curva e caso di un’iperbole
- Equazioni degli asintoti di un’iperbole
- Tabella riassuntiva delle equazioni degli asintoti di un’iperbole
- Angoli tra i due asintoti
- Asintoti ed iperbole equilatera
- Esempi di esercizi
Per ulteriori appunti di geometria analitica puoi fare riferimento al relativo indice degli argomenti.
Cosa sono gli asintoti di una curva e caso di un’iperbole
L’asintoto di una curva è una retta alla quale la curva si avvicina sempre di più senza mai toccarla. Si tratta di un argomento centrale nel caso dello studio delle funzioni e nello studio dei limiti e che viene normalmente introdotto per la prima volta in geometria analitica con lo studio dell’iperbole. L’iperbole è infatti, l’unica delle coniche per le quali è possibile poter definire degli asintoti. La circonferenza e l’ellisse infatti sono due curve chiuse e limitate nel piano. La parabola invece si estende all’infinito ma non tende mai ad un comportamento lineare.
I rami dell’iperbole tendono invece ad un comportamento lineare, e quindi ad essere approssimati a due rette quanto più ci si allontana all’infinito. Le rette alle quali i rami dell’iperbole tendono sono dette asintoti dell’iperbole. Potremmo dire che all’infinito la distanza tra un punto dell’iperbole e tali rette tende a zero. Vediamolo graficamente:
Dunque nel caso di un’iperbole canonica, sia che i fuochi siano posizionati sull’asse delle ascisse, sia che i fuochi siano posizionati sull’asse delle ordinate, gli asintoti sono due rette passanti per il centro e a cui entrambi i rami tendono. Vediamo nel prossimo paragrafo come calcolare l’equazione di tali asintoti caso per caso
Equazioni degli asintoti di un’iperbole
Il seguente paragrafo vuole rispondere alla seguente domanda: conosciuta l’equazione dell’iperbole, è possibile calcolare l’equazione dei suoi asintoti? La risposta è si e lo vedremo caso per caso. Innanzitutto partiamo dall’iperbole canonica e quindi dall’iperbole i cui fuochi sono posizionati su uno dei due assi ed il centro coincide con l’origine degli assi. In entrambi i casi, i due asintoti passano per l’origine degli assi ed avranno dunque equazione nella forma di una retta con intercetta o ordinata all’origine nulla:
y=mx \\\,\\ y=-mx
dove ciascuna retta è asintoto ad entrambi i rami dell’iperbole, Ma che cosa rappresenta il coefficiente angolare m? Consideriamo l’equazione della parabola con i fuochi posizionati sull’asse orizzontale:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
esplicitiamo adesso l’equazione per y:
y= \pm\sqrt{b^{2}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}-1\right)}
adesso immaginiamo di voler calcolare l’ordinata di un punto appartenente all’iperbole con un’ascissa molto grande. Potremmo dire che quanto più è grande l’ascissa tanto più vale la seguente approssimazione:
\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}-1\right) \approx \frac{x^{2}}{a^{2}}
Infatti se consideriamo il caso di un’iperbole con a=2 ed un punto la cui ascissa x=50 abbiamo:
\left(\frac{50^{2}}{2^{2}}-1\right) = \left(\frac{2500}{4}-1\right) = 624 \approx 625=\frac{50^{2}}{2^{2}}
per x=50 abbiamo due risultati molto simili. Sostituendo la nostra approssimazione nella forma esplicita dell’equazione dell’iperbole abbiamo:
y= \pm\sqrt{b^{2}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}-1\right)} \approx \pm\sqrt{b^{2}\frac{x^{2}}{a^{2}}} = \pm \frac{b}{a}x
dunque il coefficiente angolare è uguale a :
m=\frac{b}{a}
e dunque l’equazione degli asintoti è del tipo:
y=\frac{b}{a}x \\\,\\ y=-\frac{b}{a}x
Nel caso di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate, possiamo rieseguire i calcoli appena svolti:
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y=\pm\sqrt{a^{2}\left(1+\frac{x^{2}}{b^{2}}\right)}
per x molto grandi possiamo approssimare:
1+\frac{x^{2}}{b^{2}} \approx \frac{x^{2}}{b^{2}}
quindi possiamo ricavare le equazioni degli asintoti:
y=\pm\sqrt{a^{2}\left(1+\frac{x^{2}}{b^{2}}\right)} \approx \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}x^{2}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \mathbf{ y=\pm \frac{a}{b}x}
nel caso di un’iperbole traslata, l’equazione degli asintoti deve considerare anche l’ordinata all’origine che non sarà nulla e dunque l’equazione degli asintoti sarà del tipo:
y=mx+k
Consideriamo l’equazione di un’iperbole traslata con i fuochi allineati orizzontalmente:
\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1
i suoi asintoti saranno paralleli agli asintoti della iperbole in forma canonica da cui deriva. Dunque i coefficienti angolari saranno gli stessi. Inoltre questa passerà per il centro dell’iperbole traslata C(p,q). Possiamo dunque applicare la formula per il calcolo dell’equazione di una retta quando è noto il coefficiente angolare ed un suo punto. Abbiamo che gli asintoti avranno equazione:
(y-q) =m(x-p)
poiché nel caso della forma canonica m=+-b/a , possiamo scrivere le equazioni degli asintoti come:
(y-q) =\frac{b}{a}(x-p)\,\,\Rightarrow \mathbf{y =\frac{b}{a}(x-p)+q}\,\,\\\,\\ (y-q) =-\frac{b}{a}(x-p)\,\,\Rightarrow \mathbf{y =-\frac{b}{a}(x-p)+q}
vediamo nel prossimo paragrafo una tabellina riassuntiva delle equazioni degli asintoti.
Tabella riassuntiva delle equazioni degli asintoti di un’iperbole
Proponiamo di seguito una tabella riassuntiva delle equazioni degli asintoti a seconda del tipo di iperbole:
Angoli tra i due asintoti
I due asintoti di un’iperbole sono tali da avere stesso coefficiente angolare in modulo ma diverso in segno. Sappiamo bene che il coefficiente angolare ci fornisce l’informazione relativa alla pendenza di una retta rispetto all’asse delle x e quindi all’angolo che la retta forma con tale asse. Ci chiediamo a questo punto se è possibile calcolare l’angolo compreso tra i due asintoti. La risposta è ovviamente si. Abbiamo trattato questo argomento quando abbiamo parlato dell’angolo compreso tra due rette. Abbiamo visto in quel caso che le rette incontrandosi formano tra loro un angolo acuto ed un angolo ottuso (a meno che le due rette non siano tra loro perpendicolari!). La stessa cosa accade per gli asintoti di un’iperbole:
Riprendiamo dunque la formula che consente di calcolare la tangente dell’angolo acuto γ e consideriamo il caso di un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente:
tan \gamma = \left | \frac{m-m'}{1+mm'} \right | = \left | \frac{\frac{b}{a}+\frac{b}{a}}{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} \right | = \left | \frac{2\frac{b}{a}}{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}} \right | =2\left|\frac{b}{a}\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}\right|=2\left|\frac{ab}{a^{2}-b^{2}}\right|
ma poiché a e b sono due costanti positive potremmo scrivere:
tan \gamma =2\frac{ab}{\left|a^{2}-b^{2}\right|}
Dunque è possibile ricavare l’angolo compreso tra i due asintoti dai coefficienti dell’iperbole. Ricordiamo inoltre che è possibile calcolare anche l’angolo ad esso supplementare, in quanto vale la relazione:
tan (180°-\gamma)=-tan \gamma
Asintoti ed iperbole equilatera
Esiste una relazione profonda tra gli asintoti di un’iperbole e l’iperbole equilatera. quest’ultima infatti altro non è che un caso particolare di iperbole per la quale gli asintoti sono perpendicolari tra loro. Ricordiamo che due rette sono tra loro perpendicolari quando il coefficiente angolare di una è l’antireciproco dell’altra. Dunque deve valere la relazione:
m'= -\frac{1}{m}
Consideriamo il caso di un’iperbole con gli assi allineati orizzontalmente, il coefficiente angolare dei suoi asintoti abbiamo appena visto essere:
m=\frac{b}{a} \\\,\\ m'=-\frac{b}{a}
la relazione di perpendicolarità ci sta dicendo che dobbiamo porre:
-\frac{b}{a} = -\frac{1}{\frac{b}{a}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{b}{a}=\frac{a}{b}
moltiplichiamo entrambi i membri per ab ed otteniamo:
b^{2}=a^{2}
poiché a e b sono entrambi maggiori di 0, la soluzione di questa equazione è:
b=a
ma cosa succede quando b=a al coefficiente angolare degli asintoti? Verifichiamo:
m=\frac{b}{a} =\frac{a}{a}=1 \\\,\\ m'=-\frac{b}{a} =-\frac{a}{a}=-1
Dunque nel caso di un’iperbole equilatera gli asintoti sono le bisettrici del primo-terzo quadrante e secondo-quarto quadrante!
Esempi di esercizi
Esercizio 1
Data la seguente iperbole:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1
calcolare le equazioni degli asintoti
L’iperbole riportata è un’iperbole avente i fuochi allineati orizzontalmente sull’asse delle ascisse e con centro posizionato nell’origine degli assi. Gli asintoti avranno dunque equazione:
y=\pm\frac{b}{a}x
sappiamo dall’equazione che dell’iperbole che:
b^{2}=9 \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, b=3 \\\,\\ a^{2}=4\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, a=2
essendo b ed a positivi per definizione abbiamo tralasciando le radici negativi nel fare l’estrazione. Dunque gli asintoti avranno equazione:
y=\pm \frac{b}{a}=\pm\frac{3}{2}
Esercizio 2
Data la seguente iperbole:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{25}=-1
calcolare le equazioni degli asintoti.
Ad una prima vista l’iperbole potrebbe sembrare un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse ed il centro nell’origine. In realtà non è così perché al secondo membro abbiamo il termine -1. Riscriviamo l’equazione:
\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{16}=1
adesso nella notazione qui usata il termina a è quello al denominatore della variabile y mentre il termine b è quello sotto alla variabile x. L’equazione degli asintoti sarà dunque del tipo:
y=\pm \frac{a}{b}x
ricaviamo a e b:
a^{2}= 25 \,\,\,\ \Rightarrow \,\,\,\, a=5 \\\,\\ b^{2}=16 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, b=4
dunque gli asintoti avranno equazione:
y=\pm \frac{5}{4}
Esercizio 3
Calcolare gli asintoti della seguente iperbole:
\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{3}=1
La risoluzione di questo esercizio è piuttosto semplice. Poiché a=b abbiamo a che fare con un’iperbole equilatera. gli asintoti sono le bisettrici del primo-terzo quadrante e del secondo-quarto quadrante
