In questo appunto vediamo in che modo è possibile calcolare l’area di un triangolo noti due lati e l’angolo compreso. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la formula generale per il calcolo dell’area di un triangolo e la funzione seno. In particolare in questo appunto vedremo:

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Formula generale per il calcolo dell’area di un triangolo noti due lati e l’angolo compreso

Sia dato il seguente generico triangolo:

area di un triangolo noti due lati e l'angolo compreso

ci chiediamo se esiste un modo per poter calcolare l’area del triangolo senza dover calcolare prima l’altezza relativa ad una delle basi. Esiste una formula che consente di farlo se sono noti due lati e l’angolo fra essi compreso. Questa formula dice che:

L’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo tra di essi compreso

Ciò significa che per il triangolo in figura, possiamo scrivere le seguenti tre formule per l’area:

A = \frac{1}{2}\overline{AC}\,\overline{BC} sin\gamma \\\,\\A = \frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{BC} sin\beta \\\,\\A = \frac{1}{2}\overline{AC}\,\overline{AB} sin\alpha \\\,\\

Vediamo nel prossimo paragrafo la dimostrazione di questa formula

Dimostrazione

Dimostriamo adesso la formula vista nel paragrafo precedente. Partiamo dalla formula generale dell’area di un triangolo che ci dice che l’area è data dal semiprodotto della base per l’altezza:

A=\frac{1}{2}b*h

costruiamo l’altezza del triangolo dell’immagine sopra:

area di un triangolo noti due lati e l'angolo compreso: dimostrazione

Considerando la base BC, l’altezza ad essa relativa è il segmento AH. Possiamo dunque scrivere:

A=\frac{1}{2}b*h=\frac{1}{2}\overline{BC}\,\overline{AH}

ma quanto vale AH? Consideriamo il triangolo AHC rettangolo in H di cui AH è uno dei cateti. Da uno dei teoremi sui triangoli rettangoli sappiamo che la lunghezza di un cateto è data dal prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto. Dunque possiamo scrivere:

\overline{AH} = \overline{AC} sin\gamma

sostituiamo questo valore di AH nella formula precedente:

A=\frac{1}{2}\overline{BC}\,\overline{AH} =\frac{1}{2}\overline{BC}\,\overline{AC} sin\gamma

abbiamo dunque dimostrato, come da intenzione iniziale, che l’area di un triangolo è data dal prodotto di due suoi lati per il seno dell’angolo tra essi compreso. Si noti che la medesima dimostrazione può essere fatta anche per gli altri lati del triangolo.

Esempio di esercizio

Sia dato un triangolo aventi due lati di lunghezza 30 e 46 cm. L’angolo fra essi compreso è α = 40°. Calcolare l’area del triangolo.

Per calcolare l’area basta applicare la formula:

A= \frac{1}{2}l_{1}l_{2}sin\alpha =  \frac{1}{2}30*46*sin40° \approx 443,5 cm^{2}
Area di un triangolo noti due lati e l’angolo compreso