In questo appunto vediamo in che modo è possibile calcolare l’area di un parallelogramma in trigonometria. Per poter comprendere il contenuto di questo appunto è necessario sapere cosa è un parallelogramma, conoscere le proprietà dei suoi angoli interni e la funzione coseno. In particolare in questo appunto vedremo

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Come calcolare l’area di un parallelogramma in geometria

Prima di introdurre la formula per calcolare l’area di un parallelogramma in trigonometria ricordiamo innanzitutto cosa è un parallelogramma e la formula geometrica per il calcolo dell’area.

Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli tra loro e congruenti:

area di un parallelogramma in trigonometria

una conseguenza del parallelismo tra i lati è che gli angoli opposti sono uguali tra loro e presi due angoli adiacenti, essi risultano essere sempre supplementari. L’area di un parallelogramma è data dal prodotto della base per l’altezza:

A=b*h= \overline{CD}*\overline{AH}

Nel prossimo paragrafo vedremo come calcolare l’area del parallelogramma utilizzando una relazione trigonometrica

Area di un parallelogramma in trigonometria

E’ possibile calcolare l’area del parallelogramma se sono noti due lati adiacenti e l’angolo fra essi compreso. Si consideri infatti il parallelogramma disegnato nella figura sopra. Tracciando il lato AH si ottiene il triangolo AHD rettangolo in H. L’altezza AH risulta cateto di tale triangolo. Applicando uno dei teoremi dei triangoli rettangoli, possiamo scrivere:

\overline{AH} = \overline{AD}\, sin(A\widehat{D}C)

sostituendo alla formula dell’area del parallelogramma il secondo membro della relazione sopra riportata, possiamo scrivere:

A= \overline{CD}*\overline{AH} = \overline{CD}\,\overline{AD}\, sin(A\widehat{D}C)

questa relazione ci dice che l’area del parallelogramma è data dal prodotto della misura della lunghezza dei due lati adiacenti per il seno dell’angolo fra essi compreso. Nella formula abbiamo indicato l’angolo in D, ci chiediamo se la relazione è mantenuta considerando l’angolo in C (ricorda che i due angoli sono supplementari).

sin(B\widehat{C}D)=sin(180°- A\widehat{D}C)

Ma per le relazioni degli archi associati sappiamo che:

sin(180°- A\widehat{D}C) = sin(A\widehat{D}C)

dunque:

sin(B\widehat{C}D)=sin(A\widehat{D}C)

dunque, considerando anche che gli angoli opposti di un parallelogramma sono congruenti, possiamo concludere dicendo che:

l’area di un parallelogramma è data dal prodotto della misura di due lati adiacenti per il seno di uno qualsiasi degli angoli del parallelogramma

Facciamo un’ultima considerazione. L’area di un generico triangolo è data in trigonometria come il semiprodotto della misura di due lati adiacenti per il seno dell’angolo compreso. Avremmo dunque potuto dimostrare l’area del parallelogramma considerando che tracciando una delle sue diagonali, il parallelogramma è diviso in due triangoli equivalenti:

area di un parallelogramma in trigonometria e area di un triangolo
A_{ABCD} = 2A_{ACD} = 2\,\frac{1}{2}\,\overline{CD}\,\overline{AD} sin(A\widehat{D}C)=\overline{CD}\,\overline{AD} sin(A\widehat{D}C)

come volevasi dimostrare.

Esempio di esercizio

Calcolare l’area di un parallelogramma avente due lati di lunghezza AB=8cm e BC=22 cm ed un angolo di ampiezza α=30°

Applichiamo dunque la formula dell’area del parallelogramma:

A_{ABCD} =\overline{AB}\, \overline{BC}sin\alpha = 8*22*sin30 =8*22*\frac{1}{2}=88cm^{2}
Area di un parallelogramma in trigonometria