In questo appunto vediamo in cosa consistono le due funzioni goniometriche di arcotangente e arcocotangente. Per comprendere pienamente il contenuto di questo appunto è necessario conoscere approfonditamente le funzioni goniometriche di tangente e cotangente. Tali funzioni e le loro proprietà saranno infatti date per note nel corso di questo testo. In particolare qui vedremo

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Definizione delle funzioni goniometriche di arcotangente e arcocotangente

Le funzioni arcotangente e arcocotangente sono le funzioni goniometriche inverse delle più note funzioni tangente e cotangente. La notazione con la quale in genere sono trascritte è:

 arctan(x) \,\,\, o\,\,\, tan^{-1} \\\,\\arccot(x) \,\,\, o\,\,\, cotan^{-1}

Ma cosa indicano tali funzioni? Proviamo a darne un significato sostituendo la variabile x con un numero per la funzione arcotangente:

arctan(1)

l’arcotangente di 1 altro non è che l’angolo (arco) a cui corrisponde una tangente pari a 1. Logica simile per la funzione arcocotangente. Dunque:

  • le funzioni arcotangente e arcocotangente di un numero restituiscono i valori degli angoli che hanno per tangente o per cotangente quel numero

Se hai studiato le funzioni goniometriche saprai bene che le funzioni tangente e cotangente sono delle funzioni periodiche, ed in quanto tali, esistono infiniti angoli ai quali corrisponde un determinato valore della funzione tangente e della funzione cotangente. Dunque alla domanda qual è l’arco a cui corrisponde una tangente pari a 1? la risposta corretta sarebbe: “esistono infiniti angoli”. Tuttavia è possibile ridurre la risposta ad un solo angolo se si riduce il campo di osservazione. In particolare per entrambe le funzioni arcotangente e arcocotangente per convenzione si considerano gli angoli che sono compresi in intervalli limitati. Tale intervallo per la funzione arcotangente è:

\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]

per la funzione arcocotangente, tale intervallo è:

[0;\pi]

possiamo dunque dire che le funzioni arcotangente e arcocotangente sono due funzioni che ad un valore compreso tra [-inf,+inf] restituisce un valore compreso nell’intervallo [-π/2;π/2] per la funzione arcotangente e [0,π] per la funzione arcocotangente. L’intervallo [-inf,+inf] si dice dominio delle due funzioni, mentre i due intervalli [-π/2;π/2] e [0,π] si dicono codomini delle due funzioni. Si noti infine che possiamo scrivere le seguenti implicazioni:

tan\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arcotan(x) \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \\\,\\ cotan\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arccot(x) \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[0;\pi\right] 

Date le definizioni di arcotangente e arcocotangente, ne risultano le seguenti identità:

arctan(tan(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\\,\\\\\,\\ tan(arctan(x)) =x \,\,\,\,\, \forall x \epsilon \mathbb{R}\\\,\\\\\,\\ arccot(cotg(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, 0 \leq x \leq \pi \\\,\\\\\,\\ cotg(arccot(x)) =x \,\,\,\,\, \forall x \epsilon \mathbb{R} \\\,\\\\\,\\
Grafico della funzione arcotangente

Vediamo adesso qual è il grafico della funzione arcotangente e da questa cercheremo di spiegare alcune delle proprietà di tale funzione:

arcotangente e arcocotangente: grafico della funzione arcotangente

dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcotangente:

  • Dominio: il dominio è l’insieme dei numeri reali. A ciascun numero reale è possibile associare un angolo compreso nell’intervallo -π/2;π/2
  • Codominio: il codominio è l’intervallo [-π/2;π/2]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione tangente può assumere
  • Funzione dispari: la funzione arcoseno è una funzione dispari nel senso che:
arctan(-x) = -arctan(x) 
  • Funzione monotona strettamente crescente: la funzione cresce in tutto il suo dominio
  • Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso l’alto nell’intervallo negativo della funzione ed è verso il basso nell’intervallo positivo della funzione
  • Flesso: In corrispondenza dell’origine degli assi, la funzione cambia concavità. Dunque l’origine è punto di flesso della funzione.
Grafico della funzione arcocotangente

Vediamo adesso il grafico della funzione arcocotangente:

grafico funzione arcocotangente

dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcocotangente:

  • Dominio: il dominio è l’intero insieme dei numeri reali. A ciascun numero reale è possibile associare un angolo compreso nell’intervallo 0;π
  • Codominio: il codominio è l’intervallo [0;π]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione cotangente può assumere
  • Funzione monotona strettamente decrescente: la funzione decresce in tutto il suo dominio
  • Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso il basso nell’intervallo negativo e verso l’alto nell’intervallo positivo di ascisse
  • Flesso: In corrispondenza del punto (0;π/2), la funzione cambia concavità. Dunque tale punto è punto di flesso della funzione.
Arcotangente e arcocotangente