In questo appunto vediamo in cosa consistono le due funzioni goniometriche di arcotangente e arcocotangente. Per comprendere pienamente il contenuto di questo appunto è necessario conoscere approfonditamente le funzioni goniometriche di tangente e cotangente. Tali funzioni e le loro proprietà saranno infatti date per note nel corso di questo testo. In particolare qui vedremo
- Definizione delle funzioni goniometriche di arcotangente e arcocotangente
- Grafico e proprietà della funzione arcotangente
- Grafico e proprietà della funzione arcocotangente
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Definizione delle funzioni goniometriche di arcotangente e arcocotangente
Le funzioni arcotangente e arcocotangente sono le funzioni goniometriche inverse delle più note funzioni tangente e cotangente. La notazione con la quale in genere sono trascritte è:
arctan(x) \,\,\, o\,\,\, tan^{-1} \\\,\\arccot(x) \,\,\, o\,\,\, cotan^{-1}
Ma cosa indicano tali funzioni? Proviamo a darne un significato sostituendo la variabile x con un numero per la funzione arcotangente:
arctan(1)
l’arcotangente di 1 altro non è che l’angolo (arco) a cui corrisponde una tangente pari a 1. Logica simile per la funzione arcocotangente. Dunque:
- le funzioni arcotangente e arcocotangente di un numero restituiscono i valori degli angoli che hanno per tangente o per cotangente quel numero
Se hai studiato le funzioni goniometriche saprai bene che le funzioni tangente e cotangente sono delle funzioni periodiche, ed in quanto tali, esistono infiniti angoli ai quali corrisponde un determinato valore della funzione tangente e della funzione cotangente. Dunque alla domanda qual è l’arco a cui corrisponde una tangente pari a 1? la risposta corretta sarebbe: “esistono infiniti angoli”. Tuttavia è possibile ridurre la risposta ad un solo angolo se si riduce il campo di osservazione. In particolare per entrambe le funzioni arcotangente e arcocotangente per convenzione si considerano gli angoli che sono compresi in intervalli limitati. Tale intervallo per la funzione arcotangente è:
\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]
per la funzione arcocotangente, tale intervallo è:
[0;\pi]
possiamo dunque dire che le funzioni arcotangente e arcocotangente sono due funzioni che ad un valore compreso tra [-inf,+inf] restituisce un valore compreso nell’intervallo [-π/2;π/2] per la funzione arcotangente e [0,π] per la funzione arcocotangente. L’intervallo [-inf,+inf] si dice dominio delle due funzioni, mentre i due intervalli [-π/2;π/2] e [0,π] si dicono codomini delle due funzioni. Si noti infine che possiamo scrivere le seguenti implicazioni:
tan\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arcotan(x) \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \\\,\\ cotan\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arccot(x) \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[0;\pi\right]
Date le definizioni di arcotangente e arcocotangente, ne risultano le seguenti identità:
arctan(tan(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\\,\\\\\,\\ tan(arctan(x)) =x \,\,\,\,\, \forall x \epsilon \mathbb{R}\\\,\\\\\,\\ arccot(cotg(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, 0 \leq x \leq \pi \\\,\\\\\,\\ cotg(arccot(x)) =x \,\,\,\,\, \forall x \epsilon \mathbb{R} \\\,\\\\\,\\
Grafico della funzione arcotangente
Vediamo adesso qual è il grafico della funzione arcotangente e da questa cercheremo di spiegare alcune delle proprietà di tale funzione:
dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcotangente:
- Dominio: il dominio è l’insieme dei numeri reali. A ciascun numero reale è possibile associare un angolo compreso nell’intervallo -π/2;π/2
- Codominio: il codominio è l’intervallo [-π/2;π/2]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione tangente può assumere
- Funzione dispari: la funzione arcoseno è una funzione dispari nel senso che:
arctan(-x) = -arctan(x)
- Funzione monotona strettamente crescente: la funzione cresce in tutto il suo dominio
- Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso l’alto nell’intervallo negativo della funzione ed è verso il basso nell’intervallo positivo della funzione
- Flesso: In corrispondenza dell’origine degli assi, la funzione cambia concavità. Dunque l’origine è punto di flesso della funzione.
Grafico della funzione arcocotangente
Vediamo adesso il grafico della funzione arcocotangente:
dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcocotangente:
- Dominio: il dominio è l’intero insieme dei numeri reali. A ciascun numero reale è possibile associare un angolo compreso nell’intervallo 0;π
- Codominio: il codominio è l’intervallo [0;π]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione cotangente può assumere
- Funzione monotona strettamente decrescente: la funzione decresce in tutto il suo dominio
- Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso il basso nell’intervallo negativo e verso l’alto nell’intervallo positivo di ascisse
- Flesso: In corrispondenza del punto (0;π/2), la funzione cambia concavità. Dunque tale punto è punto di flesso della funzione.
