In questo appunto vediamo in cosa consistono le due funzioni goniometriche di arcotangente e arcocotangente. Per comprendere pienamente il contenuto di questo appunto è necessario conoscere approfonditamente le funzioni goniometriche di tangente e cotangente. Tali funzioni e le loro proprietà saranno infatti date per note nel corso di questo testo. In particolare qui vedremo

Per ulteriori appunti di goniometria ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.

Definizione delle funzioni goniometriche di arcotangente e arcocotangente

Le funzioni arcotangente e arcocotangente sono le funzioni goniometriche inverse delle più note funzioni tangente e cotangente. La notazione con la quale in genere sono trascritte è:

 arctan(x) \,\,\, o\,\,\, tan^{-1} \\\,\\arccot(x) \,\,\, o\,\,\, cotan^{-1}

Ma cosa indicano tali funzioni? Proviamo a darne un significato sostituendo la variabile x con un numero per la funzione arcotangente:

arctan(1)

l’arcotangente di 1 altro non è che l’angolo (arco) a cui corrisponde una tangente pari a 1. Logica simile per la funzione arcocotangente. Dunque:

  • le funzioni arcotangente e arcocotangente di un numero restituiscono i valori degli angoli che hanno per tangente o per cotangente quel numero

Se hai studiato le funzioni goniometriche saprai bene che le funzioni tangente e cotangente sono delle funzioni periodiche, ed in quanto tali, esistono infiniti angoli ai quali corrisponde un determinato valore della funzione tangente e della funzione cotangente. Dunque alla domanda qual è l’arco a cui corrisponde una tangente pari a 1? la risposta corretta sarebbe: “esistono infiniti angoli”. Tuttavia è possibile ridurre la risposta ad un solo angolo se si riduce il campo di osservazione. In particolare per entrambe le funzioni arcotangente e arcocotangente per convenzione si considerano gli angoli che sono compresi in intervalli limitati. Tale intervallo per la funzione arcotangente è:

\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]

per la funzione arcocotangente, tale intervallo è:

[0;\pi]

possiamo dunque dire che le funzioni arcotangente e arcocotangente sono due funzioni che ad un valore compreso tra [-inf,+inf] restituisce un valore compreso nell’intervallo [-π/2;π/2] per la funzione arcotangente e [0,π] per la funzione arcocotangente. L’intervallo [-inf,+inf] si dice dominio delle due funzioni, mentre i due intervalli [-π/2;π/2] e [0,π] si dicono codomini delle due funzioni. Si noti infine che possiamo scrivere le seguenti implicazioni:

tan\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arcotan(x) \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \\\,\\ cotan\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arccot(x) \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[0;\pi\right] 

Date le definizioni di arcotangente e arcocotangente, ne risultano le seguenti identità:

arctan(tan(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\\,\\\\\,\\ tan(arctan(x)) =x \,\,\,\,\, \forall x \epsilon \mathbb{R}\\\,\\\\\,\\ arccot(cotg(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, 0 \leq x \leq \pi \\\,\\\\\,\\ cotg(arccot(x)) =x \,\,\,\,\, \forall x \epsilon \mathbb{R} \\\,\\\\\,\\
Grafico della funzione arcotangente

Vediamo adesso qual è il grafico della funzione arcotangente e da questa cercheremo di spiegare alcune delle proprietà di tale funzione:

arcotangente e arcocotangente: grafico della funzione arcotangente

dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcotangente:

  • Dominio: il dominio è l’insieme dei numeri reali. A ciascun numero reale è possibile associare un angolo compreso nell’intervallo -π/2;π/2
  • Codominio: il codominio è l’intervallo [-π/2;π/2]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione tangente può assumere
  • Funzione dispari: la funzione arcoseno è una funzione dispari nel senso che:
arctan(-x) = -arctan(x) 
  • Funzione monotona strettamente crescente: la funzione cresce in tutto il suo dominio
  • Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso l’alto nell’intervallo negativo della funzione ed è verso il basso nell’intervallo positivo della funzione
  • Flesso: In corrispondenza dell’origine degli assi, la funzione cambia concavità. Dunque l’origine è punto di flesso della funzione.
Grafico della funzione arcocotangente

Vediamo adesso il grafico della funzione arcocotangente:

grafico funzione arcocotangente

dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcocotangente:

  • Dominio: il dominio è l’intero insieme dei numeri reali. A ciascun numero reale è possibile associare un angolo compreso nell’intervallo 0;π
  • Codominio: il codominio è l’intervallo [0;π]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione cotangente può assumere
  • Funzione monotona strettamente decrescente: la funzione decresce in tutto il suo dominio
  • Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso il basso nell’intervallo negativo e verso l’alto nell’intervallo positivo di ascisse
  • Flesso: In corrispondenza del punto (0;π/2), la funzione cambia concavità. Dunque tale punto è punto di flesso della funzione.
Arcotangente e arcocotangente
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