In questo appunto vediamo in cosa consistono le due funzioni goniometriche di arcoseno e arcocoseno. Per comprendere pienamente il contenuto di questo appunto è necessario conoscere approfonditamente le funzioni goniometriche di seno e coseno. Tali funzioni e le loro proprietà saranno infatti date per note nel corso di questo testo. In particolare qui vedremo
- Definizione delle funzioni goniometriche di arcoseno e arcocoseno
- Grafico e proprietà della funzione arcoseno
- Grafico e proprietà della funzione arcocoseno
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Definizione delle funzioni goniometriche di arcoseno e arcocoseno
Le funzioni arcoseno e arcocoseno sono le funzioni goniometriche inverse delle più note funzioni seno e coseno. La notazione con la quale in genere sono trascritte è:
arcsin(x) \,\,\,\,\,\, o \,\,\,\,\, sin^{-1} (x)\\\,\\ arccos(x) \,\,\,\,\,\, o \,\,\,\,\, cos^{-1}(x)
Ma cosa indicano tali funzioni? Proviamo a darne un significato sostituendo la variabile x con un numero per la funzione arcoseno:
arcsin (0,5)
l’arcoseno di 0,5 altro non è che l’angolo (arco) a cui corrisponde un seno pari a 0,5. Logica simile per la funzione arcocoseno. Se hai studiato le funzioni goniometriche saprai bene che le funzioni seno e coseno sono delle funzioni periodiche, ed in quanto tali, esistono infiniti angoli ai quali corrisponde un determinato valore della funzione seno e della funzione coseno. Dunque alla domanda qual è l’arco a cui corrisponde un seno pari a 0,5? la risposta corretta sarebbe: “esistono infiniti angoli”. Tuttavia è possibile ridurre la risposta ad un solo angolo se si riduce il campo di osservazione. In particolare per entrambe le funzioni arcoseno e arcocoseno per convenzione si considerano gli angoli che sono compresi in intervalli limitati. Tale intervallo per la funzione arcoseno è:
\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]
mentre per la funzione arcocoseno è:
[0,\pi]
possiamo dunque dire che le funzioni arcoseno e arcocoseno sono due funzioni che ad un valore compreso tra [-1,1] restituisce un valore compreso nell’intervallo [-π/2;π/2] per la funzione arcoseno e [0,π] per la funzione arcocoseno. L’intervallo [-1,1] si dice dominio delle due funzioni, mentre i due intervalli [-π/2;π/2] e [0,π] si dicono codomini delle due funzioni. Si noti infine che possiamo scrivere le seguenti implicazioni:
sin\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arcosin(x) \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \\\,\\ cos\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arcocos(x) \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[0;\pi\right]
Date le definizioni di arcoseno e arcocoseno, ne risultano le seguenti identità:
arcsin(sin(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\\,\\\\\,\\ sin(arcsin(x)) =x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -1 \leq x \leq 1 \\\,\\\\\,\\
arccos(cos(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, 0 \leq x \leq \pi \\\,\\\\\,\\ cos(arccos(x)) =x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -1 \leq x \leq 1 \\\,\\\\\,\\
Grafico della funzione arcoseno
Vediamo adesso qual è il grafico della funzione arcoseno e da questa cercheremo di spiegare alcune delle proprietà di tale funzione:
dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcoseno:
- Dominio: il dominio è l’intervallo [-1,1]. La funzione non è definita al di fuori di questo intervallo e di conseguenza non esiste l’arcoseno di un numero che sia maggiore di 1 o minore di -1
- Codominio: il codominio è l’intervallo [-π/2;π/2]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione seno può assumere
- Funzione dispari: la funzione arcoseno è una funzione dispari nel senso che:
arcosen(-x) =- arcosen(x)
- Funzione monotona strettamente crescente: la funzione cresce in tutto il suo dominio
- Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso il basso nell’intervallo negativo della funzione ed è verso l’alto nell’intervallo positivo della funzione
- Flesso: In corrispondenza dell’origine degli assi, la funzione cambia concavità. Dunque l’origine è punto di flesso della funzione.
Grafico della funzione arcocoseno
Vediamo adesso il grafico della funzione arcocoseno:
dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcocoseno:
- Dominio: il dominio è l’intervallo [-1,1]. La funzione non è definita al di fuori di questo intervallo e di conseguenza non esiste l’arcocoseno di un numero che sia maggiore di 1 o minore di -1
- Codominio: il codominio è l’intervallo [0;π]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione coseno può assumere
- Funzione monotona strettamente decrescente: la funzione decresce in tutto il suo dominio
- Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso l’alto nell’intervallo [-1;0] e verso il basso nell’intervallo [0;1]
- Flesso: In corrispondenza del punto (0;π/2), la funzione cambia concavità. Dunque tale punto è punto di flesso della funzione.
