In questo appunto vediamo in cosa consistono le due funzioni goniometriche di arcoseno e arcocoseno. Per comprendere pienamente il contenuto di questo appunto è necessario conoscere approfonditamente le funzioni goniometriche di seno e coseno. Tali funzioni e le loro proprietà saranno infatti date per note nel corso di questo testo. In particolare qui vedremo

Per ulteriori appunti di goniometria ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.

Definizione delle funzioni goniometriche di arcoseno e arcocoseno

Le funzioni arcoseno e arcocoseno sono le funzioni goniometriche inverse delle più note funzioni seno e coseno. La notazione con la quale in genere sono trascritte è:

arcsin(x) \,\,\,\,\,\, o \,\,\,\,\, sin^{-1} (x)\\\,\\ arccos(x) \,\,\,\,\,\, o \,\,\,\,\, cos^{-1}(x)

Ma cosa indicano tali funzioni? Proviamo a darne un significato sostituendo la variabile x con un numero per la funzione arcoseno:

arcsin (0,5)

l’arcoseno di 0,5 altro non è che l’angolo (arco) a cui corrisponde un seno pari a 0,5. Logica simile per la funzione arcocoseno. Se hai studiato le funzioni goniometriche saprai bene che le funzioni seno e coseno sono delle funzioni periodiche, ed in quanto tali, esistono infiniti angoli ai quali corrisponde un determinato valore della funzione seno e della funzione coseno. Dunque alla domanda qual è l’arco a cui corrisponde un seno pari a 0,5? la risposta corretta sarebbe: “esistono infiniti angoli”. Tuttavia è possibile ridurre la risposta ad un solo angolo se si riduce il campo di osservazione. In particolare per entrambe le funzioni arcoseno e arcocoseno per convenzione si considerano gli angoli che sono compresi in intervalli limitati. Tale intervallo per la funzione arcoseno è:

\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]

mentre per la funzione arcocoseno è:

[0,\pi]

possiamo dunque dire che le funzioni arcoseno e arcocoseno sono due funzioni che ad un valore compreso tra [-1,1] restituisce un valore compreso nell’intervallo [-π/2;π/2] per la funzione arcoseno e [0,π] per la funzione arcocoseno. L’intervallo [-1,1] si dice dominio delle due funzioni, mentre i due intervalli [-π/2;π/2] e [0,π] si dicono codomini delle due funzioni. Si noti infine che possiamo scrivere le seguenti implicazioni:

sin\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arcosin(x)  \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \\\,\\ cos\alpha = x \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \alpha=arcocos(x)  \,\,\,\,\, con \,\,\,\,\, \alpha \,\, \epsilon \,\, \left[0;\pi\right]

Date le definizioni di arcoseno e arcocoseno, ne risultano le seguenti identità:

 arcsin(sin(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\\,\\\\\,\\ sin(arcsin(x)) =x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -1 \leq x \leq 1 \\\,\\\\\,\\
arccos(cos(x)) = x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, 0 \leq x \leq \pi \\\,\\\\\,\\ cos(arccos(x)) =x \,\,\,\,\, se\,\,\,\,\, -1 \leq x \leq 1 \\\,\\\\\,\\

 

Grafico della funzione arcoseno

Vediamo adesso qual è il grafico della funzione arcoseno e da questa cercheremo di spiegare alcune delle proprietà di tale funzione:

 

arcoseno a arcocoseno: grafico della funzione arcoseno

dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcoseno:

  • Dominio: il dominio è l’intervallo [-1,1]. La funzione non è definita al di fuori di questo intervallo e di conseguenza non esiste l’arcoseno di un numero che sia maggiore di 1 o minore di -1
  • Codominio: il codominio è l’intervallo [-π/2;π/2]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione seno può assumere
  • Funzione dispari: la funzione arcoseno è una funzione dispari nel senso che:
arcosen(-x) =- arcosen(x)
  • Funzione monotona strettamente crescente: la funzione cresce in tutto il suo dominio
  • Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso il basso nell’intervallo negativo della funzione ed è verso l’alto nell’intervallo positivo della funzione
  • Flesso: In corrispondenza dell’origine degli assi, la funzione cambia concavità. Dunque l’origine è punto di flesso della funzione.
Grafico della funzione arcocoseno

Vediamo adesso il grafico della funzione arcocoseno:

arcoseno a arcocoseno: grafico della funzione arcocoseno

dal grafico possiamo verificare le seguenti proprietà della funzione arcocoseno:

  • Dominio: il dominio è l’intervallo [-1,1]. La funzione non è definita al di fuori di questo intervallo e di conseguenza non esiste l’arcocoseno di un numero che sia maggiore di 1 o minore di -1
  • Codominio: il codominio è l’intervallo [0;π]. Il codominio è una convenzione ed è tale da coprire qualsiasi valore che la funzione coseno può assumere
  • Funzione monotona strettamente decrescente: la funzione decresce in tutto il suo dominio
  • Concavità: la concavità della funzione non è sempre la stessa. La funzione mostra una concavità verso l’alto nell’intervallo [-1;0] e verso il basso nell’intervallo [0;1]
  • Flesso: In corrispondenza del punto (0;π/2), la funzione cambia concavità. Dunque tale punto è punto di flesso della funzione.
Arcoseno e arcocoseno
Tag: