In questo appunto parleremo dell’arco di una circonferenza dandone la definizione e mostrando alcune formule con applicazione in esercizi. In particolare vedremo:

Definizione di arco di una circonferenza

Un arco di una circonferenza è una porzione della circonferenza stessa delimitata da due punti appartenenti alla circonferenza. Presi due punti qualsiasi della circonferenza essi dividono la circonferenza in due archi l’uno maggiore o uguale dell’altro in lunghezza.

Poiché dati due punti della circonferenza è sempre possibile anche individuare una corda, l’arco si dice sotteso dalla rispettiva corda. Nella figura vediamo che ad una corda sono infatti associati due archi (uno rosso e l’altro blu) entrambi delimitati dai punti A e B. Se la corda è un diametro, e quindi i due punti sono diametralmente opposti, allora i due archi ottenuti sono uguali e sono detti semicirconferenze in quanto sono esattamente la metà di una circonferenza. Gli angoli al centro sono invece specifici. Nel corso di questo appunto indicheremo l’angolo al centro specifico per l’arco con θ. L’angolo al centro che insiste sul secondo arco, sarà invece genericamente rappresentato come 2π – θ.

Le due porzioni di cerchio delimitate dai punti ABC sono invece dette settori circolari. Tali settori sono costituiti dalla stessa coppia di raggi ma dai due archi sottesi dalla stessa corda AB.

Nei prossimi paragrafi vedremo come calcolare la lunghezza di un arco ed altre formule necessarie per la risoluzione degli esercizi.

Lunghezza di un arco di circonferenza

Considerando la definizione di arco come porzione della circonferenza, è possibile calcolare la lunghezza di un arco impostando una proporzione. La proporzione che utilizzeremo tiene conto del fatto che il rapporto tra la lunghezza dell’arco ed il perimetro del cerchio è uguale al rapporto tra l’angolo al centro che insiste sull’arco e l’angolo giro. Rappresentando entrambi gli angoli in radianti, possiamo dunque scrivere

P_{cerchio}: l_{arco} =2 \pi : \theta

poiché:

P_{cerchio} = 2\pi r

dove r è il raggio della circonferenza, la proporzione può essere riscritta come:

2 \pi r: l_{arco} = 2 \pi: \theta

da cui possiamo ricavare finalmente la lunghezza dell’arco:

\mathbf{l_{arco} = \frac{2 \pi r \theta}{2 \pi}  = r \theta}

dunque la lunghezza dell’arco di una circonferenza è data dal prodotto dell’angolo al centro che insiste sull’arco di circonferenza per il raggio del cerchio. Abbiamo però detto che un corda divide la circonferenza in due archi. La lunghezza del secondo arco sarà dunque data da:

l_{arco2}= P_{cerchio}-l_{arco} = 2 \pi r- \theta r

in alternativa avremmo potuto calcolarlo applicando ancora una volta la proporzione impostata precedentemente. In questo caso però l’angolo al centro che insiste sull’angolo non sarà θ ma 2π -θ:

2 \pi r: l_{arco2} =2 \pi : 2 \pi - \theta

da cui:

l_{arco2} =\frac{2 \pi r (2\pi-\theta)}{2 \pi} = r(2 \pi - \theta) = 2 \pi r - \theta r

ottenendo dunque la medesima formula. Adesso proviamo a verificare in quale condizione due archi sono identici:

l_{arco} = l_{arco 2} \\\,\\ \Rightarrow  \\\,\\ \theta r  = 2 \pi r - \theta r \\\,\\ \Rightarrow  \\\,\\  2 \theta r = 2 \pi r \\\,\\ \Rightarrow  \\\,\\  \theta = \pi

dunque otteniamo due archi uguali quando l’angolo θ = π ovvero all’angolo piatto. In questo caso i due archi corrispondono a due semicirconferenze.

Nota: Abbiamo detto che il rapporto della lunghezza dell’arco rispetto al perimetro del cerchio è uguale al rapport tra l’ampiezza dell’angolo al centro e l’angolo giro. Non esiste invece questa proporzionalità quando si introducono le lunghezze delle corde. Il rapporto tra la lunghezza dell’arco e il perimetro del semicerchio non è uguale al rapporto della corda sottesa con il diametro (corda massima di un cerchio)

Altre formule

Mostriamo di seguito alcune formule legato al concetto di arco di una circonferenza:

arco di una circonferenza: alcune formule
Tabella 1: alcune delle formule e formule inverse riguardanti il settore circolare e l’arco di una circonferenza. L’uso delle formule inverse è consigliato per chi ha già una certa familiarità con gli argomenti. In alternativa è sempre consigliato un approccio passo passo alla risoluzione dei problemi

Nota 1: se gli esercizi propongono un confronto tra settori o archi appartenenti a cerchi differenti, l’utilizzo delle formule sopra riportate deve essere fatto con il giusto approccio. Non bisogna mai confondere gli elementi di un arco o di un settore con quelli di un altro.

Nota 2: le formule proposte possono essere utili anche per problemi di geometria analitica affrontati in scuola secondaria superiore relativi all’equazione della circonferenza nel piano cartesiano.

Ricorda che se gli angoli sono espressi in gradi e non in radianti, è possibile applicare la seguente trasformazione:

\theta = \frac{\theta° 2 \pi}{360}
Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare la lunghezza di un arco sapendo che appartiene ad un cerchio di raggio r=12 m e che l’angolo al centro che insiste su di esso ha ampiezza 30°.

Applichiamo dunque la formula per l’arco:

l_{arco}= \theta r

ma l’ampiezza dell’angolo al centro nel nostro esercizio è espressa in gradi. Scriviamo dunque la stessa formula con l’angolo espresso in gradi:

l_{arco} = \frac{\theta° 2 \pi r}{360} = \frac{30° 2 \pi *12}{360} = 2\pi m\approx 6,28 m

l’arco dunque è approssimativamente lungo 6,28m

Esempio 2

Calcolare l’ampiezza di un arco lungo 50 cm e che appartiene ad un cerchio di perimetro 300cm

Ricordiamo che la lunghezza dell’arco è proporzionale alla lunghezza del perimetro del cerchio. Possiamo dunque scrivere:

l_{arco}:P_{cerchio} = \theta : 2\pi

da cui possiamo ricavare:

\theta = \frac{2 \pi l_{arco}}{P_{cerchio}} = \frac{2 \pi * 50}{300}  = \frac{\pi}{3}

l’ampiezza dell’angolo al centro è dunque 60°.

Esempio 3

Calcolare l’area di un cerchio sapendo che un arco in esso di 60 cm è ampio π/3

Conoscendo l’arco e la sua ampiezza possiamo calcolarci il raggio della circonferenza:

r = \frac{l_{arco}}{\theta} = \frac{60}{\frac{\pi}{3}} = \frac{180}{\pi}

ricordiamo che l’area del cerchio è data da:

A_{cerchio}= \pi r^{2} = \pi \frac{180^{2}}{\pi^{2}} = \frac{180^{2}}{\pi} \approx 10313 cm^{2}

Esempio 4

Calcolare la lunghezza di un arco sapendo che l’area del settore circolare a cui esso appartiene è 20 cm2 e che la circonferenza ha raggio 4 cm

Ricordiamo che l’area di un settore circolare è pari a:

A_{settore circolare} = \frac{\theta}{2}r^{2}

da cui possiamo ricavare l’ampiezza dell’angolo al centro attraverso la formula:

\theta = \frac{2A_{settore circolare}}{r^{2}} = \frac{2*20}{16} = 2,5

adesso possiamo calcolare la lunghezza dell’arco:

l_{arco} = \theta r  = 2,5 *4 =10 cm

Esempio 5

Calcolare l’ampiezza dell’angolo al centro di un settore circolare, sapendo quest’ultimo ha un perimetro di 30m e che il raggio della circonferenza è pari a 10 m

Sappiamo che il perimetro di un settore circolare è dato da:

P_{settore circolare} =l_{arco} +2r

da cui: possiamo ricavare la lunghezza dell’arco:

l_{arco} = P_{settore circolare}-2r = 30-20 =10m

Adesso possiamo calcolare l’ampiezza dell’angolo al centro come rapporto tra la lunghezza dell’arco e la lunghezza del raggio:

\theta = \frac{l_{arco}}{r} = \frac{10}{10} =1

Esempio 6

Calcolare la lunghezza di un arco sapendo che la corda ad esso sottesa è lunga 20cm e che l’ampiezza dell’angolo al centro è π/2

Partiamo dalla formula della lunghezza della corda:

l_{corda} = 2r sin\left(\frac{\theta}{2}\right)

possiamo dunque calcolare il raggio:

r = \frac{l_{corda}}{2sin\left( \frac{\theta}{2}\right)} = \frac{20}{2 sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}  = \frac{10}{ \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}}  = 10\sqrt{2 }cm

adesso possiamo calcolarci la lunqgheza dell’arco:

l_{arco} = \theta r = \frac{\pi}{2} 10 \sqrt{2} \approx 22,21cm
Arco di una circonferenza: definizione e formule
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